Question

Произведение первых n (n ≥ 2) натуральных чисел обозначают n! и читают «эн факториал»: n! = 1 • 2 • 3 • ... • (n — 1) • n. Например, 5! = 1- 2- 3- 4- 5= 120. На сколько нулей оканчивается: а) 10!; б) 50!; в) 100!?

Answer 1

Нули в произведении чисел может давать произведение 5 на четное число (10=2*5, так что тоже содержит 5)
а) 10! Содержит 5 (один ноль) и 10 (ещё один ноль). То есть 2 пятёрки, поэтому ответ
Два нуля
б) 50! Содержит 5, 15,20,25 (это 5*5, две пятёрки), 30, 35,40, 45 и 50 (тоже две пятерки) итого 11 пятерок, поэтому 11 нулей
в) 100! Аналогично 22 нуля

Answer 2

Для того чтобы определить, на сколько нулей оканчивается факториал числа n, необходимо разложить n! на простые множители и посчитать количество множителей 5 и 2. Поскольку множители 2 встречаются в разложении чисел n! в большем количестве, чем множители 5, то именно количество множителей 5 определяет количество нулей в конце числа n!.

а) Для числа 10! количество множителей 5 равно 2 (5 и 10), поэтому число 10! оканчивается на 2 нуля.

б) Для числа 50! количество множителей 5 равно 12 (5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50), поэтому число 50! оканчивается на 12 нулей.

в) Для числа 100! количество множителей 5 равно 24 (5, 10, 15, ..., 95, 100), поэтому число 100! оканчивается на 24 нуля.

Таким образом, ответы на задачу: а) 10! оканчивается на 2 нуля; б) 50! оканчивается на 12 нулей; в) 100! оканчивается на 24 нуля.