Question

Срочно упростите пожалуйста cos(x)^4+sin(x)^4

Answer 1

$cos^4(x)+sin^4(x)=(\frac{1+cos(2x)}{2})^2+(\frac{1-cos(2x)}{2})^2=\\ =\frac{cos^2(2x)+2cos(2x)+1}{4}+\frac{cos^2(2x)-2cos(2x)+1}{4}=\\ =\frac{cos^2(2x)+2cos(2x)+1+cos^2(2x)-2cos(2x)+1}{4}=\\ =\frac{2cos^2(2x)+2}{4}=\frac{cos^2(2x)+1}{2}=\frac{\frac{1+cos(4x)}{2}+1}{2}=\\ =\frac{3+cos(4x)}{4}$

Answer 2

Конечно! Чтобы упростить выражение cos(x)^4 + sin(x)^4, мы можем воспользоваться тригонометрическим тождеством для квадратов синуса и косинуса:

cos(x)^4 + sin(x)^4 = (cos(x)^2)^2 + (sin(x)^2)^2

Теперь мы можем заменить cos(x)^2 на 1 - sin(x)^2, и sin(x)^2 на 1 - cos(x)^2:

(cos(x)^2)^2 + (sin(x)^2)^2 = (1 - sin(x)^2)^2 + (1 - cos(x)^2)^2

Раскроем квадраты:

(1 - sin(x)^2)^2 + (1 - cos(x)^2)^2 = 1 - 2sin(x)^2 + sin(x)^4 + 1 - 2cos(x)^2 + cos(x)^4

Теперь сгруппируем слагаемые:

(1 - 2sin(x)^2 + sin(x)^4) + (1 - 2cos(x)^2 + cos(x)^4)

Получаем упрощенное выражение:

2 - 2sin(x)^2 - 2cos(x)^2 + sin(x)^4 + cos(x)^4

Наконец, мы можем использовать тригонометрическое тождество sin(x)^2 + cos(x)^2 = 1, чтобы упростить дальше:

2 - 2(1 - cos(x)^2) - 2cos(x)^2 + sin(x)^4 + cos(x)^4

Упрощаем выражение:

2 - 2 + 2cos(x)^2 - 2cos(x)^2 + sin(x)^4 + cos(x)^4

Окончательно получаем:

sin(x)^4 + cos(x)^4