Question

Докажите, что при любом натуральном n, n(n^2+6n+5) кратно 6

Answer 1

n(n^2+6n+5)=n(n+1)(n+5)

 

одно из чисел n или n+1 делится на 2 (как одно из двух последовательных)

 

одно из чисел n или n+1 или (n+5)=(n+2)+3 делится на 3, (из трех последовательных натуральных чисел одно делится на 3 если это число n+2 то и число n+5 делится на 3, так как оно больше на 3 - число кратное 3)

 

произведение делится на 2 и 3 (взаимо простые числа), значит оно делится на их произведение 6=2*3. Доказано

Answer 2

Для доказательства того, что выражение n(n^2+6n+5) кратно 6 при любом натуральном n, можно использовать метод математической индукции.

Базовый шаг: Для n=1, мы имеем 1(1^2+6*1+5) = 12, что является кратным 6.

Предположение: Пусть для некоторого натурального числа k, k(k^2+6k+5) кратно 6.

Индукционный шаг: Для n=k+1, мы имеем (k+1)((k+1)^2+6(k+1)+5) = (k+1)(k^2+7k+12) = k(k^2+6k+5) + 6(k+1)(k+2).

Здесь первое слагаемое является кратным 6 в соответствии с предположением индукции, а второе слагаемое кратно 6, так как один из множителей является четным (k+1), а другой является кратным 3 (k+2).

Таким образом, мы доказали, что если утверждение верно для n=k, то оно верно и для n=k+1. При этом базовый шаг выполнен, и следовательно, утверждение доказано для всех натуральных чисел n по принципу математической индукции.