Question

Найдите первообразную для функции y=f(x), y=f(x)=x^4(x-1) . Заранее спасибо.

Answer 1

решение смотри во вложении

Answer 2

Чтобы найти первообразную функции y = f(x) = x^4(x - 1), мы можем использовать метод интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям имеет вид:

∫u dv = uv - ∫v du,

где u и v - функции переменной x, а du и dv - их дифференциалы.

Применим этот метод к нашей функции:

Положим u = x^4 и dv = (x - 1) dx. Тогда du = 4x^3 dx и v = ∫(x - 1) dx.

Вычислим v: ∫(x - 1) dx = (1/2)x^2 - x + C1, где C1 - произвольная постоянная.

Теперь применим формулу интегрирования по частям:

∫u dv = uv - ∫v du, ∫x^4(x - 1) dx = (1/2)x^2 * x^4 - x^4 + C1 - ∫[(1/2)x^2 - x + C1] * 4x^3 dx, ∫x^4(x - 1) dx = (1/2)x^6 - x^4 + C1 - 2∫x^5 dx + 4C1∫x^3 dx.

Вычислим оставшиеся интегралы: ∫x^5 dx = (1/6)x^6 + C2, где C2 - произвольная постоянная. ∫x^3 dx = (1/4)x^4 + C3, где C3 - произвольная постоянная.

Подставим значения обратно в выражение: ∫x^4(x - 1) dx = (1/2)x^6 - x^4 + C1 - 2[(1/6)x^6 + C2] + 4C1[(1/4)x^4 + C3],

∫x^4(x - 1) dx = (1/2)x^6 - x^4 + C1 - (1/3)x^6 - 2C2 + (1/4)x^4 + 4C1C3.

Объединим константы и упростим выражение: ∫x^4(x - 1) dx = -(1/6)x^6 + (3/4)x^4 + C, где C = C1 - 2C2 + 4C1C3.

Таким образом, первообразная для функции y = f(x) = x^4(x - 1) равна -(1/6)x^6 + (3/4)x^4 + C, где C - произвольная постоянная.