Question

X1, x2, x3, x4, x5 — положительные числа. Какое наименьшее значение может принимать выражение: sqrt[5]{ x1x2x3x4x5} * (1/x1+1/x2+1/x3+1/x4+1/x5)?

Answer 1

 
     Заменим данные переменные на  $a;b;c;d;e$  соответственно 
     
   $\sqrt[5]{abcde}*(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}+\frac{1}{e} ) \\ a,b,c,d,e \geq 0 \\ \frac{(bcde+acde+abde+abce+abcd)}{(abcde)^{ \frac{4}{5}}} \\ \frac{(bcde+acde+abde+abce+abcd)}{5} \geq \sqrt[5]{a^4b^4c^4d^4e^4} = (abcd)^{ \frac{4}{5}} \\ \frac{(bcde+acde+abde+abce+abcd)}{(abcde)^{ \frac{4}{5}}} = 5 \frac{(abcde) ^{\frac{4}{5}}}{(abcde)^{ \frac{4}{5}}} = 5$ 
 
   
  то есть минимальное значение  $5$
    
      

Answer 2

Для определения наименьшего значения данного выражения нам необходимо минимизировать оба множителя: sqrt[5]{x1x2x3x4x5} и (1/x1+1/x2+1/x3+1/x4+1/x5).

1. Минимизация sqrt[5]{x1x2x3x4x5}: Поскольку все числа (x1, x2, x3, x4, x5) положительные, чтобы получить минимальное значение выражения, мы должны выбрать наименьшие возможные значения для каждого из них. Таким образом, наименьшее значение sqrt[5]{x1x2x3x4x5} достигается, когда x1 = x2 = x3 = x4 = x5.

2. Минимизация (1/x1+1/x2+1/x3+1/x4+1/x5): Аналогично предыдущему случаю, чтобы получить минимальное значение этого выражения, мы должны выбрать наименьшие значения для каждого из чисел x1, x2, x3, x4 и x5.

Таким образом, наименьшее значение всего выражения достигается, когда x1 = x2 = x3 = x4 = x5. В этом случае каждый множитель будет равен 1, и итоговое значение выражения будет равно 1 * 5 = 5.

Итак, наименьшее значение выражения sqrt[5]{x1x2x3x4x5} * (1/x1+1/x2+1/x3+1/x4+1/x5) равно 5.