Question

Довести що ab - ba кратний 9

Answer 1

Число, записанное ab=10a+b
число ,записанное ba=10b+a

10a+b-(10b+a)=9a-9b=9(a-b) кратно 9

Answer 2

Для того, чтобы доказать, что разность $ab-ba$ кратна 9, мы можем воспользоваться фактом, что два числа $a$ и $b$ дают одинаковый остаток при делении на 9, если и только если их разность $a-b$ кратна 9. Другими словами, если $a \equiv b \pmod{9}$, то $a-b \equiv 0 \pmod{9}$.

Для того, чтобы применить этот факт к выражению $ab-ba$, заметим, что:

$$ab-ba = a(b - a) - b(a - b) = (b-a)a - (b-a)b = (b-a)(a-b).$$

Таким образом, мы получили, что $ab-ba$ равно произведению $(b-a)$ и $(a-b)$, что является разностью двух чисел, имеющих разные знаки, так как $b-a$ и $a-b$ противоположны друг другу.

Если $b-a$ не кратно 9, то оно может быть записано в виде $b-a = 9k + r$, где $k$ - целое число, а $r$ - остаток при делении на 9 ($0 \le r < 9$). Тогда:

$$ab-ba = (b-a)(a-b) = (9k + r)(-9k - r) = -81k^2 - r^2 < 0,$$

что означает, что $ab-ba$ отрицательно. Но поскольку мы знаем, что $ab-ba$ является разностью двух чисел, имеющих разные знаки, то это означает, что $ab-ba$ положительно. Это противоречие показывает, что $b-a$ должно быть кратно 9.

Следовательно, мы доказали, что $ab-ba$ кратно 9.