Question

Решить неравенство cos9x+4cos3x>0

Answer 1

Ответ:

$-\frac{\pi }{6} +\frac{2\pi n}{3}$

Объяснение:

Используем  формулу косинуса тройного угла и выносим затем общий множитель за скобки:

$cos9x=4cos^{3} 3x-3cos3x\\ 4cos^{3} 3x-3cos3x+4cos3x>0\\ 4cos^{3} 3x+cos3x>0\\ cos3x(4cos^{2} 3x+1)>0$

Замечаем, что второй множитель всегда положителен, поскольку имеет вид суммы квадрата, который всегда неотрицателен, и единицы, прибавление которой делает все выражение только положительным. Первый же множитель уже может быть как положительным, так и отрицательным. Стало быть, для положительности всего произведения он должен быть только положительным. Значит, неравенство равносильно следующему:

$cos3x>0$

Это неравенство уже вполне известно, как решать. Сначала ради удобства сделаем замену $t=3x$.

$cost>0$

Ну и дальше это простейшее неравенство решаем с помощью окружности.

Относительно t решение:

$-\frac{\pi }{2} +2\pi n$

Относительно x:

$-\frac{\pi }{2} +2\pi n$

Answer 2

Чтобы решить данное неравенство, нам нужно найти интервалы, на которых выражение cos(9x) + 4cos(3x) > 0.

1. Рассмотрим первое слагаемое cos(9x). Чтобы найти интервалы, на которых оно положительно, мы должны исследовать значения x, при которых cos(9x) > 0. Так как период функции cos(9x) равен 2π/9, то мы можем записать это условие как:

   0 ≤ 9x < 2π/9.

   Разделим обе части неравенства на 9, получим:

   0 ≤ x < 2π/81.

   Это означает, что выражение cos(9x) положительно на интервале [0, 2π/81).

2. Рассмотрим второе слагаемое 4cos(3x). Чтобы найти интервалы, на которых оно положительно, мы должны исследовать значения x, при которых cos(3x) > 0. Так как период функции cos(3x) равен 2π/3, то мы можем записать это условие как:

   0 ≤ 3x < 2π/3.

   Разделим обе части неравенства на 3, получим:

   0 ≤ x < 2π/9.

   Это означает, что выражение 4cos(3x) положительно на интервале [0, 2π/9).

3. Теперь объединим интервалы, на которых оба слагаемых положительны:

   [0, 2π/81) ∩ [0, 2π/9) = [0, 2π/81).

   Получаем, что неравенство cos(9x) + 4cos(3x) > 0 выполняется на интервале [0, 2π/81).

Таким образом, решением данного неравенства является x ∈ [0, 2π/81).