Question

Доведіть, що многочлен х2 + 4х + у2 + 6у + 13 при будь-яких значеннях х і у набуває лише невід'ємних значень.

Answer 1

X²+4x+y²+6y+13=(x²+4x)+(y²+6y)+13=(x²+2*x*2+2²-2²)+(y²+2*y*3+3²-3²)+13=(x²+4x+2)+(y²+6y²9)-4-9+13=(x+2)²+(y+3)²

(x+2)²>0, (y+3)²>0
сумма положительных чисел положительна, =>
(x+2)²+(y+3)²>0

Answer 2

Для доведення того, що многочлен $x^2 + 4x + y^2 + 6y + 13$ при будь-яких значеннях $x$ і $y$ набуває лише невід'ємних значень, ми можемо скористатися методом завершення квадрату.

Спочатку розглянемо перші три доданки многочлена $x^2 + 4x + y^2$. Цей вираз можна переписати в такій формі:

$$x^2 + 4x + y^2 = (x^2 + 4x + 4) + (y^2 - 4)$$

Застосуємо тепер метод завершення квадрату до першого доданка $x^2 + 4x + 4$:

$$x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$$

Тепер повернемось до початкового виразу і замінимо перші три доданки отриманими значеннями:

$$x^2 + 4x + y^2 + 6y + 13 = (x + 2)^2 + (y^2 - 4) + 6y + 13$$

Тепер давайте розглянемо останні три доданки $y^2 - 4$, $6y$ і $13$.

$y^2 - 4$ можна переписати в такій формі:

$$y^2 - 4 = (y^2 + 6y + 9) - 13$$

Знову застосуємо метод завершення квадрату до першого доданка $y^2 + 6y + 9$:

$$y^2 + 6y + 9 = (y + 3)^2$$

Повертаємось до попереднього виразу і замінюємо останні три доданки:

$$(x + 2)^2 + (y^2 - 4) + 6y + 13 = (x + 2)^2 + (y + 3)^2 - 13 + 6y + 13$$

Спрощуємо вираз:

$$(x + 2)^2 + (y + 3)^2 - 13 + 6y + 13 = (x + 2)^2 + (y + 3)^2 + 6y$$

Тепер ми бачимо, що обидва доданки $(x + 2)^2$ і $(y + 3)^2$ завжди невід'ємні, оскільки це квадрати виразів. Доданок $6y$ також невід'ємний незалежно ві