Question

Решить уравнение cos^3(x)*sin(x) - sin^3(x)*cos(x)=1/4

Answer 1

Sinxcosx(cos²x-sin²x)=1/4
1/2*sin2x*cos2x=1/4
1/4*sin4x=1/4
sin4x=1
4x=π/2+2πk
x=π/8+πk/2,k∈z

Answer 2

Давайте решим данное уравнение. Начнем с преобразования выражений, используя тригонометрические тождества.

cos^3(x) * sin(x) - sin^3(x) * cos(x) = 1/4

Мы можем преобразовать cos^3(x) в (1 - sin^2(x)) * cos(x), а sin^3(x) в (1 - cos^2(x)) * sin(x). Подставим эти значения в уравнение:

(1 - sin^2(x)) * cos(x) * sin(x) - (1 - cos^2(x)) * sin(x) * cos(x) = 1/4

Теперь раскроем скобки:

cos(x) * sin(x) - sin^2(x) * cos(x) - sin(x) * cos(x) + cos^2(x) * sin(x) = 1/4

Объединим подобные слагаемые:

2 * cos(x) * sin(x) - (sin^2(x) * cos(x) + sin(x) * cos(x)) + cos^2(x) * sin(x) = 1/4

Теперь упростим:

2 * cos(x) * sin(x) - sin(x) * cos(x) * (sin(x) + cos(x)) + cos^2(x) * sin(x) = 1/4

Факторизуем (sin(x) + cos(x)):

2 * cos(x) * sin(x) - sin(x) * cos(x) * (sin(x) + cos(x)) + cos^2(x) * sin(x) = 1/4

(sin(x) + cos(x)) * (2 * cos(x) - sin(x)) + cos^2(x) * sin(x) = 1/4

Теперь уравнение имеет вид:

(sin(x) + cos(x)) * (2 * cos(x) - sin(x)) + cos^2(x) * sin(x) = 1/4

Упростим его до квадратного уравнения:

2 * cos^2(x) - sin^2(x) + cos(x) * sin(x) - sin(x) * cos(x) + cos^2(x) * sin(x) = 1/4

3 * cos^2(x) * sin(x) - sin^2(x) * cos(x) = 1/4

Перепишем sin^2(x) как 1 - cos^2(x):

3 * cos^2(x) * sin(x) - (1 - cos^2(x)) * cos(x) = 1/4

3 * cos^2(x) * sin(x) - cos(x) + cos^3(x) = 1/4

Теперь уравнение имеет вид:

3 * cos^2(x) * sin(x) - cos(x) + cos^3(x) = 1/4

Мы можем решить это уравнение численно, используя численные методы или графический анализ, чтобы найти приближенное значение x.