Question

Производная 2 порядка sin(x^2)/sin^2(x) У меня не получается, очень длинно...

Answer 1

$y= \frac{sin(x^2)}{sin^2x} \\\\y'= \frac{cos(x^2)\cdot 2x\cdot sin^2x-sin(x^2)\cdot 2sinx\cdot cosx}{sin^4x} = \frac{2x\cdot sinx\cdot cos(x^2)-2cosx\cdot sin(x^2)}{sin^3x} =\\\\= \frac{2\cdot (x\cdot sinx\cdot cos(x^2)-cosx\cdot sin(x^2))}{sin^3x} \\\\y''= \frac{2}{sin^6x} \cdot \Big (sinx\cdot cos(x^2)+x\cdot cosx\cdot cos(x^2)-x\cdot sinx\cdot sin(x^2)\cdot 2x+$

$+sinx\cdot sin(x^2)-cosx\cdot cos(x^2)\cdot 2x\Big )=$

$= \frac{2}{sin^6x}\cdot \Big (sinx\cdot cosx^2-x\cdot cosx\cdot cosx^2-2x^2\cdot sinx\cdot sinx^2+\\\\+sinx\cdot sinx^2\Big )$

Answer 2

Для нахождения производной второго порядка данной функции, необходимо дважды применить правило дифференцирования произведения.

Начнем с выражения для первой производной:

f'(x) = [(sin(x^2))' * sin^2(x) - sin(x^2) * (sin^2(x))'] / sin^4(x)

Применим правило дифференцирования произведения для каждого слагаемого:

(sin(x^2))' = cos(x^2) * (x^2)' = 2x * cos(x^2)

(sin^2(x))' = 2sin(x) * cos(x)

Подставим найденные значения обратно в выражение для первой производной:

f'(x) = [2x * cos(x^2) * sin^2(x) - sin(x^2) * 2sin(x) * cos(x)] / sin^4(x)

Упростим выражение:

f'(x) = [2x * cos(x^2) - 2sin(x) * cos(x)] / sin^3(x)

Теперь можем найти вторую производную. Для этого снова применим правило дифференцирования произведения:

f''(x) = [(f'(x))' * sin^4(x) - f'(x) * (sin^4(x))'] / sin^8(x)

Вычислим производные:

(f'(x))' = [(2x * cos(x^2) - 2sin(x) * cos(x))' * sin^2(x) - (2x * cos(x^2) - 2sin(x) * cos(x)) * (sin^2(x))'] / sin^6(x)

(f'(x))' = [-4x * sin(x^2) * sin^2(x) - 4cos(x^2) * cos(x) * sin^2(x) - 4x * cos(x^2) * sin(x) * sin(x) + 4sin(x^2) * cos(x) * cos(x)] / sin^6(x)

(sin^4(x))' = 4sin^3(x) * cos(x)

Подставим найденные значения обратно в выражение для второй производной:

f''(x) = {[-4x * sin(x^2) * sin^2(x) - 4cos(x^2) * cos(x) * sin^2(x) - 4x * cos(x^2) * sin(x) * sin(x) + 4sin(x^2) * cos(x) * cos(x)] * sin^4(x) - [2x * cos(x^2) - 2sin(x) * cos(x)] * 4sin^3(x) * cos(x)} / sin^8(x)

Упрощая это выражение, получим:

f''(x) = [8x^2 * sin^3(x) + 8x * cos(x^2) * sin^3(x) - 24x * sin(x) * cos(x) * sin^2(x) - 12cos^2(x) * sin^3(x) + 12cos(x^2) * sin(x