Question

Решить уравнение. Будьте так любезны написать подробное решение.sin(x)^6+cos(x)^6=1+2sin(x)^2*cos(x)^2​

Answer 1

$\sin^6x+\cos^6x=1+2\sin^2x\cdot\cos^2x;\ (\sin^2x)^3+(\cos^2x)^3=1+2\sin^2x\cdot \cos^2x;$

$(\sin^2x+\cos^2x)(\sin^4 x-\sin^2x\cos^2x+\cos^4x)=1+2\sin^2x\cos^2x;$

$(\sin^2x)^2+2\sin^2x\cos^2x+(\cos^2x)^2-3\sin^2x\cos^2x=1+2\sin^2x\cos^2x;$

$(\sin^2x+\cos^2x)^2-3\sin^2x\cos^2x=1+2\sin^2x\cos^2x;\ 1=1+5\sin^2x\cos^2x;$

$5\sin^2x\cos^2x=0;\ \sin x\cos x=0;\ 2\sin x\cos x=0;\ \sin 2x=0;\ 2x=\pi n.$

Ответ: $\frac{\pi n}{2}; n\in Z$

Answer 2

Для решения данного уравнения мы можем воспользоваться следующими тождествами:

sin^2(x) + cos^2(x) = 1 sin^2(x) = 1 - cos^2(x) cos^2(x) = 1 - sin^2(x)

Используя эти тождества, мы можем преобразовать левую и правую части уравнения:

sin^6(x) + cos^6(x) = (sin^2(x))^3 + (cos^2(x))^3 = (1 - cos^2(x))^3 + (1 - sin^2(x))^3 = 1 - 3cos^2(x) + 3cos^4(x) - cos^6(x) + 1 - 3sin^2(x) + 3sin^4(x) - sin^6(x) = 2 - 3sin^2(x) - 3cos^2(x) + 3(sin^4(x) + cos^4(x)) = 2 - 6sin^2(x)cos^2(x) + 3(sin^2(x) + cos^2(x))^2 - 6sin^2(x)cos^2(x) = 2 - 6sin^2(x)cos^2(x) + 3 - 6sin^2(x)cos^2(x) = 5 - 12sin^2(x)cos^2(x)

Таким образом, исходное уравнение преобразуется к следующему виду:

5 - 12sin^2(x)cos^2(x) = 1 + 2sin^2(x)cos^2(x)

Переносим все члены на одну сторону:

-12sin^2(x)cos^2(x) - 2sin^2(x)cos^2(x) + 4 = 0

Факторизуем левую часть:

(-2sin^2(x)cos^2(x))(6 + sin^2(x) + cos^2(x)) + 4 = 0

Замечаем, что sin^2(x) + cos^2(x) = 1, поэтому:

(-2sin^2(x)cos^2(x))(7) + 4 = 0

Решаем получившееся уравнение:

-14sin^2(x)cos^2(x) + 4 = 0

sin^2(x)cos^2(x) = 2/7

sin(x)cos(x) = ±sqrt(2/7)

Теперь мы можем решить исходное уравнение. Замечаем, что если sin(x)cos(x) = a, то:

sin^2(x) + cos^2(x) = 1 sin(x)cos(x) = a sin^2(x)cos^2(x) = a^2

Используя эти соотношения, мы можем преобразовать левую часть исходного уравнения:

sin^6(x) + cos^6(x) = (sin^2(x))^3 + (cos^2(x))^3 = (1 - cos^2(x))^3 + (1 - sin^2(x))^3 = 1