Question

Помогите решить: cos^4 x+1=sin^4 x

Answer 1

cos^4x-sin^4x+1=(cos^2x+sin^2x)(cos^2x-sin^2x)+1=cos2x+1=0

cos2x=-1

2x=П(1+2k)

x=П(1/2+k)

Answer 2

Мы можем использовать тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, чтобы выразить $\cos^2 x$ в терминах $\sin^2 x$. Заметим, что $\cos^4 x = (\cos^2 x)^2$, аналогично $\sin^4 x = (\sin^2 x)^2$. Тогда можно переписать данное уравнение следующим образом:

$\cos^4 x + 1 = \sin^4 x \quad \Leftrightarrow \quad (\cos^2 x)^2 + 1 = (\sin^2 x)^2$

Заменим $\cos^2 x$ на $1 - \sin^2 x$:

$(1 - \sin^2 x)^2 + 1 = (\sin^2 x)^2$

Раскроем квадрат на левой стороне:

$1 - 2\sin^2 x + \sin^4 x + 1 = \sin^4 x$

Упростим:

$2 - 2\sin^2 x = 0$

Таким образом, получаем:

$\sin^2 x = 1 \quad \Leftrightarrow \quad \sin x = \pm 1$

Решениями данного уравнения являются $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ и $x = -\frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k$ -- любое целое число.