Question

Найти интеграл: ∫sin(x)/ (cos^3(x) - 1)

Answer 1

*********************************

Answer 2

Для решения этого интеграла нам нужно сделать замену переменной. Пусть:

u = cos(x), тогда du/dx = -sin(x) dx.

Мы можем выразить sin(x) dx через du, заменив sin(x) на √(1 - cos^2(x)):

sin(x) dx = -√(1 - cos^2(x)) dx = -√(1 - u^2) du.

Теперь мы можем заменить переменные в исходном интеграле:

∫sin(x)/(cos^3(x) - 1) dx = ∫(-√(1 - u^2))/(u^3 - 1) du.

Для нахождения интеграла мы разложим дробь на простые слагаемые. Поскольку u^3 - 1 = (u - 1)(u^2 + u + 1), мы можем записать:

(-√(1 - u^2))/(u^3 - 1) = A/(u - 1) + B(u + 1)/(u^2 + u + 1),

где A и B - неизвестные константы, которые мы должны найти.

Домножим обе части на (u - 1)(u^2 + u + 1):

-√(1 - u^2) = A(u^2 + u + 1) + B(u - 1)(u + 1).

Подставим u = 1:

-√0 = A(3) + B(0), A = 0.

Подставим u = -1:

-√0 = B(0)(-2), B = 0.

Теперь подставим значения A и B в нашу дробь:

(-√(1 - u^2))/(u^3 - 1) = 0/(u - 1) + 0(u + 1)/(u^2 + u + 1) = 0.

Таким образом, исходный интеграл равен:

∫sin(x)/(cos^3(x) - 1) dx = ∫0 dx = C,

где C - произвольная константа.