Question

Исследуйте функцию f(x)=-x^3+3x^2-4 и постройки её график

Answer 1

F(x)=-x³+3x²-4.
1. Область определения функции: x∈R (функция определена на x∈(-∞;+∞).
2. Четность/нечетность: f(-x)=-(-x)³+3(-x)²-4=x³+3x²-4≠f(x)≠-f(x) - функция ни четная, ни нечетная.
3. Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения.
4. Поведение функции при x→+-∞: при x→-∞, f(x)→+∞; при x→+∞, f(x)→-∞.
5. Производная функции: f'(x)=(-x³+3x²-4)'=-(x³)'+3*(x²)'-4'=-3x²+3*2x-0=-3x²+6x.
6. Экстремумы функции: f'(x)=0, -3x²+6x=0 ⇒ x²-2x=0 ⇒ x(x-2)=0 ⇒ x=0 и x=2.
7. Монотонность (промежутки возрастания и убывания) функции: при x∈(-∞;0], f'(x)<0 - функция убывает, при x∈[0;2], f'(x)>0 - функция возрастает, при x∈[2;+∞), f'(x)<0 - функция убывает. Следовательно x=0 - точка минимума, x=2 - точка максимума.
8. Пересечение графика функции с осями координат: с осью абсцисс, f(x)=0 ⇒ -x³+3x²-4=0 ⇒ x=-1 и x=2, получим точки (-1;0) и (2;0); с осью ординат, x=0, f(x)=-4, получим точку (0;-4).
9. Строим график (см. в приложении)

Answer 2

Хорошо, давайте исследуем функцию f(x) = -x^3 + 3x^2 - 4 и построим её график.

1. Найдем точки пересечения с осями координат: Для этого приравняем функцию f(x) к нулю и решим уравнение: -x^3 + 3x^2 - 4 = 0

Уравнение не имеет рациональных корней, поэтому мы не можем найти точные значения пересечений с осями координат аналитически. Однако, мы можем найти приближенные значения, используя численные методы, например, метод Ньютона или метод половинного деления.

2. Найдем экстремумы функции: Для этого возьмем производную функции f'(x): f'(x) = -3x^2 + 6x

Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение: -3x^2 + 6x = 0

Факторизуем: -3x(x - 2) = 0

Отсюда получаем две точки экстремума: x = 0 и x = 2.

3. Исследуем поведение функции в окрестности точек экстремума: 3.1. При x < 0: Подставим значение x < 0 в исходную функцию f(x): f(x) = -x^3 + 3x^2 - 4

Так как x^3 и x^2 положительны при x < 0, а -4 отрицательно, то значение f(x) будет отрицательным.

3.2. При 0 < x < 2: Подставим значение x в исходную функцию f(x): f(x) = -x^3 + 3x^2 - 4

Так как x^3 и x^2 положительны при 0 < x < 2, а -4 отрицательно, то значение f(x) будет отрицательным.

3.3. При x > 2: Подставим значение x > 2 в исходную функцию f(x): f(x) = -x^3 + 3x^2 - 4

Так как x^3 положительно, x^2 положительно, а -4 отрицательно, то значение f(x) будет отрицательным.

4. Построим график функции: Для построения графика используем полученные результаты. Найденные точки пересечений с осями координат и точки экстремума помогут нам определить форму и направление графика.

К сожалению, я не могу построить график здесь в текстовом окне. Однако, вы можете использовать графические инструменты, такие как Wolfram