Question

Найдите производную функции f(x)=ctg x:3

Answer 1

Заменим f(x) = z(t(x)) (t = x / 3) и возьмём производную сложной функции:
 $f'(x)=z'(t(x)) = ctg '(t(x))=-\frac{1}{\sin^2t(x)}\cdot t'(x)=-\frac{1}{3\sin^2(x/3)}$

Answer 2

Для нахождения производной функции f(x) = ctg x используем правило дифференцирования тангенса:

(ctg x)' = - (1 / sin^2 x)'

Здесь мы использовали тот факт, что ctg x = 1 / tan x, а затем заменили tan x на 1 / cot x.

Далее, используя правило дифференцирования квадрата функции, получаем:

• (1 / sin^2 x)' = -2 sin x * (1 / sin^3 x)'

Теперь воспользуемся правилом дифференцирования обратной функции, чтобы найти производную (1 / sin^3 x):

(1 / sin^3 x)' = -(3 / sin^4 x) * (sin x)'

Заменим sin x на 1 / cos x и продифференцируем:

(sin x)' = cos x

Таким образом, мы получаем:

(ctg x)' = - (1 / sin^2 x)' = -2 sin x * (1 / sin^3 x)' = -2 sin x * -(3 / sin^4 x) * (sin x)' = 2 cos x / sin^3 x

Или же в более привычной форме:

(ctg x)' = -2 cos x / sin^3 x = -2 cot x * csc x