Question

Найдите область определения функции: = √(5+4x-x^2)

Answer 1

5+4x-x^2 ≥ 0
-x^2+4x+5 ≥ 0      |Умножим на -1
x^2-4x-5 ≤ 0
x1 = 5 ; x2 = -1
Решаем методом интервалов, получаем область определения:
-1 ≤ x ≤ 5

Answer 2

Выражение под корнем должно быть неотрицательным, поэтому решим неравенство:

5 + 4x - x^2 ≥ 0

Перенесем все слагаемые в левую часть:

-x^2 + 4x + 5 ≥ 0

Умножим обе части на -1, чтобы изменить знак неравенства:

x^2 - 4x - 5 ≤ 0

Решим это неравенство, используя метод интервалов знакопостоянства. Сначала найдем корни квадратного уравнения:

x^2 - 4x - 5 = 0

x1 = 5 и x2 = -1

Получили два значения, которые разбивают ось x на три интервала: (-∞, -1), (-1, 5) и (5, +∞).

Теперь выберем по одному числу из каждого интервала и подставим в неравенство, чтобы определить знак выражения на каждом интервале:

Для x = -2: (-2)^2 - 4(-2) - 5 = 11 > 0, знак положительный Для x = 0: 0^2 - 4(0) - 5 = -5 < 0, знак отрицательный Для x = 6: 6^2 - 4(6) - 5 = 11 > 0, знак положительный

Итак, выражение x^2 - 4x - 5 ≤ 0 исходно имеет знак "+" на интервалах (-∞, -1) и (5, +∞), а на интервале (-1, 5) имеет знак "-". Следовательно, функция √(5+4x-x^2) будет определена на интервалах (-∞, -1] и [3, +∞).

Ответ: область определения функции - это интервал (-∞, -1] объединенный с интервалом [3, +∞).