Question

Докажите тождество Cos^2(a-b)-cos^2(a+b)=sin2a*sin2b

Answer 1

sin2a(sin2a+sin2b) +cos2a(cos2a+cos2b)=sin²2a + sin2asin2b + cos²2a + cos2acos2b=(sin²2a+cos²2a)+sin2asin2b +cos2acos2b=1+cos(2a-2b)=1+cos2(a-b)=

=1+cos²(a-b) - sin²(a-b)=2cos²(a-b)

Answer 2

Для доказательства данного тождества воспользуемся тригонометрическими тождествами и алгеброй:

1. Начнем с левой стороны уравнения: cos²(a - b) - cos²(a + b)

2. Используем формулу двойного угла для косинуса: cos(2x) = 1 - 2sin²x Применяем эту формулу для обоих выражений в скобках: cos²(a - b) = 1 - 2sin²(a - b) cos²(a + b) = 1 - 2sin²(a + b)

3. Заменяем выражения в исходном уравнении полученными равенствами: 1 - 2sin²(a - b) - (1 - 2sin²(a + b))

4. Раскрываем скобки: 1 - 2sin²(a - b) - 1 + 2sin²(a + b)

5. Упрощаем: -2sin²(a - b) + 2sin²(a + b)

6. Перепишем каждое слагаемое с использованием формулы двойного угла для синуса: -2(sin(a - b) * sin(a - b)) + 2(sin(a + b) * sin(a + b))

7. Формула разности для синуса: -2sin²(a)cos²(b) + 2sin²(a)cos²(b)

8. Факторизуем общий множитель: -2sin²(a)(cos²(b) - sin²(b))

9. Тригонометрическое тождество cos²(b) - sin²(b) = cos(2b): -2sin²(a)cos(2b)

10. Формула двойного угла для синуса: -sin(2a)cos(2b)

11. Тригонометрическое тождество sin(2a) * sin(2b) = 1/2 * cos(2a - 2b) - 1/2 * cos(2a + 2b): -1/2 * cos(2a - 2b) + 1/2 * cos(2a + 2b)

Таким образом, левая сторона тождества равна -sin(2a)cos(2b), а правая сторона равна -1/2 * cos(2a - 2b) + 1/2 * cos(2a + 2b). Чтобы доказать, что обе стороны равны друг другу, необходимо показать, что выражения -sin(2a)cos(2b) и -1/2 * cos(2a - 2b) + 1/2 * cos(2a + 2b) эквивалентны. Однако, эти выражения не эквивалентны, поэтому исходное