Question

Моторная лодка проплыла 18км по течению реки и вернулась обратно, потратив на путь по течению на 30 минут меньше, чем на путь против течения. Найдите собственную скорость лодки, если скорость реки равна 3км/ч.

Answer 1

Пусть скорость лодки равна х км/час, тогда скорость лодки по течению равна х+3 км/час, против течения равна х-3 км/час, время езды по течению равно 18 / (х+3) , против течения 6 / (х-3) . по условию задачи:

18 / (х+3) + 6 / (х-3) = 4

18 (x-3) + 6 (x+3) = 4 (x^2-9)

9 (x-3) + 3 (x+3) = 2 (x^2-9)

9x-27+3x+9=2x^2-18

2x^2-12x=0

x^2-6x=0

x (x-6) = 0

х=0 - что невозможно скорость лодки не может быть нулевой

или х=6

ответ: 6

Answer 2

Пусть $v$ - скорость лодки в безводной среде (собственная скорость), а $r$ - скорость течения реки.

По условию задачи, лодка проплыла 18 км по течению и вернулась обратно. При движении вниз по течению, скорость лодки относительно берега увеличивается на скорость течения, то есть составляет $v + r$. При движении вверх по течению скорость лодки относительно берега уменьшается на скорость течения, и составляет $v - r$.

Обозначим время движения лодки вниз по течению как $t_1$. Тогда время движения лодки обратно, вверх по течению, составит $t_1 + 0.5$ часов (30 минут меньше, чем на путь вниз по течению).

Расстояние, которое проплыла лодка вниз по течению, равно 18 км, а общее время движения (время вниз по течению и обратно вверх) равно $2t_1 + 0.5$ часов.

Тогда по формуле расстояния $d=vt$ имеем:

$$18 = (v + r) t_1 \qquad\text{(расстояние вниз по течению)}$$

$$18 = (v - r) (t_1 + 0.5) \qquad\text{(расстояние обратно, вверх по течению)}$$

Отсюда можно выразить $t_1$ через $v$ и $r$:

$$t_1 = \frac{18}{v + r} \qquad\text{(из первого уравнения)}$$

$$t_1 + 0.5 = \frac{18}{v - r} \qquad\text{(из второго уравнения)}$$

$$\frac{18}{v + r} + 0.5 = \frac{18}{v - r}$$

Упрощая, получаем:

$$18(v - r) + 9(v + r) = 18(v + r)$$

$$9v = 27r$$

$$v = 3r$$

Таким образом, собственная скорость лодки $v$ равна 3 раза скорости течения реки $r$, то есть $v = 3\cdot 3\text{ км/ч} = 9\text{ км/ч}$.