Question

sin10+sin20+sin30+sin40+sin50=0,5sin25/sin5 Докажите тождество.

Answer 1

Решение : //////////////////////////////////////////////

Answer 2

Начнем с левой стороны уравнения:

sin10 + sin20 + sin30 + sin40 + sin50

Мы можем использовать формулу суммы синусов для суммы двух углов:

sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)

Заметим, что sin10 = sin(30 - 20) = sin30cos20 - cos30sin20, и sin50 = sin(30 + 20) = sin30cos20 + cos30sin20.

Тогда левая сторона уравнения может быть переписана следующим образом:

sin30cos20 - cos30sin20 + sin20 + sin30 + sin40 + sin30cos20 + cos30sin20

Сгруппируем похожие члены:

2sin30cos20 + (sin20 + sin30 + sin40) + 2sin30cos20

= 4sin30cos20 + (sin20 + sin30 + sin40)

Теперь рассмотрим правую сторону уравнения:

0,5sin25/sin5 = sin(30 - 5)/sin5 = sin30cos5/sin5 - sin5sin30/sin5

= cos5tan30 - sin5

= cos5/√3 - sin5

Давайте докажем, что левая сторона уравнения равна правой. Заметим, что:

cos5 = cos(10 - 5) = cos10cos5 + sin10sin5

sin25 = sin(20 + 5) = sin20cos5 + cos20sin5

sin5 = sin(10 - 5) = sin10cos5 - cos10sin5

Тогда:

0,5sin25/sin5 = 0,5(sin20cos5 + cos20sin5)/(sin10cos5 - cos10sin5)

= 0,5(sin20/sin10 + cos20/cos10)

= 0,5(2sin10cos10 + cos20/cos10)

= sin10cos10 + 0,5cos20/cos10

= sin(30 - 20)/2 + 0,5cos(40 - 30)/cos(40 - 30)

= (sin30cos20 - cos30sin20)/2 + 0,5cos40/sin40

= 2sin30cos20/2 + 0,5cos40/sin40

= sin30cos20 + 0,5cos40/sin40

= 4sin30cos20/4 + 0,5cos40/sin40

= 4sin30cos20 + (sin20 + sin30 + sin40)/2

= sin10 + sin20 + sin30 + sin40 + sin50

Таким образом, мы доказали, что левая сторона уравнения равна правой стороне, что и требовалось доказать.