Question

Решить уравнение: 4 cos²x - sin 2x = 1

Answer 1

$4cos^2x-sin2x=1\\ 4cos^2x-2sinxcosx=sin^2x+cos^2x\\sin^2x-3cos^2x+2sinxcosx=0|:cos^2x\neq0\\tg^2x-3+2tgx=0|a=tgx\\a^2+2a-3=0\\a_1=1; a_2=-3\\tgx_1=1=>x_1=\pi /4+\pi n, n\in Z\\tgx_2=-3=>x_2=-arctg3+\pi n, n\in Z$

Answer 2

Давайте решим уравнение поэтапно.

Используя тригонометрические тождества, мы можем переписать уравнение в другой форме. Заметим, что $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$.

Итак, уравнение $4\cos^2(x) - \sin(2x) = 1$ можно переписать следующим образом:

$4\cos^2(x) - 2\sin(x)\cos(x) = 1$

Далее, приведем все слагаемые на одну сторону уравнения:

$4\cos^2(x) - 2\sin(x)\cos(x) - 1 = 0$

Теперь преобразуем левую часть уравнения:

$4\cos^2(x) - 2\sin(x)\cos(x) - 1 = 0$

$4\cos^2(x) - 2\sin(x)\cos(x) - \cos^2(x) - \sin^2(x) = 0$

$3\cos^2(x) - 2\sin(x)\cos(x) - \sin^2(x) = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно $\cos(x)$:

$3\cos^2(x) - 2\sin(x)\cos(x) - \sin^2(x) = 0$

Теперь мы можем решить это уравнение, используя замену $\sin(x) = t$. Подставим:

$3(1 - t^2) - 2t\sqrt{1 - t^2} - t^2 = 0$

$3 - 3t^2 - 2t\sqrt{1 - t^2} - t^2 = 0$

$3 - 4t^2 - 2t\sqrt{1 - t^2} = 0$

$2t\sqrt{1 - t^2} = 3 - 4t^2$

$4t^2(1 - t^2) = (3 - 4t^2)^2$

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

$4t^2 - 4t^4 = 9 - 24t^2 + 16t^4$

$20t^4 - 20t^2 + 9 = 0$

Теперь это уравнение четвертой степени относительно $t$. Для его решения требуется применение специальных методов, например, метода Феррари или методов численного решения.

В данном случае я не могу решить это уравнение точно, но вы можете воспользоваться численными методами или специализированными программами для решения уравнений.