Question

Помогите решить пример по алгебра 10 класс! 4cos(в квадрате)x+4sinx-1=0

Answer 1

Sin x = t
4(1-t^2)+4t-1=0
4-4t^2+4t-1=0
Решаем квадратное уравнение
sinx = 3/2                      sinx=-1/2

Answer 2

Данный уравнение не может быть решено аналитически (то есть с помощью элементарных функций). Однако, его можно решить численно с использованием метода Ньютона или метода половинного деления.

Метод Ньютона заключается в следующем:

1. Выбираем начальное приближение x0 для решения уравнения.
2. Вычисляем значение функции f(x0) и ее производной f'(x0).
3. Строим касательную к графику функции f(x) в точке x=x0 и находим пересечение этой касательной с осью абсцисс. Получаем новое приближение x1.
4. Повторяем шаги 2 и 3 до тех пор, пока не достигнем требуемой точности.

Метод половинного деления заключается в следующем:

1. Выбираем начальный отрезок [a, b], на котором меняется знак функции f(x).
2. Находим середину отрезка m=(a+b)/2 и вычисляем значение функции f(m).
3. Если f(m) имеет тот же знак, что и f(a), заменяем отрезок [a, b] на [m, b], иначе заменяем на [a, m].
4. Повторяем шаги 2 и 3 до тех пор, пока не достигнем требуемой точности.

Например, воспользуемся методом Ньютона. Найдем производную функции f(x):

f(x) = 4cos^2(x) + 4sin(x) - 1

f'(x) = -8cos(x)sin(x) + 4cos(x)

Теперь выберем начальное приближение x0=1. Рассчитаем значения функции и ее производной в этой точке:

f(x0) = 4cos^2(x0) + 4sin(x0) - 1 ≈ 3.2415 f'(x0) = -8cos(x0)sin(x0) + 4cos(x0) ≈ -2.2618

Построим касательную к графику функции f(x) в точке x=x0:

y - f(x0) = f'(x0)(x - x0)

y - 3.2415 = -2.2618(x - 1)

y = -2.2618x + 5.5033

Найдем пересечение этой касательной с осью абсцисс:

0 = -2.2618x + 5.5033

x ≈ 2.4297

Это новое приближение x1. Теперь рассчитаем значения функции и ее производной в этой точке и повторим процедуру:

f(x1) = 4cos^2(x1) + 4sin(x1) - 1 ≈ 0.1876