Question

В каких точках касательная к кривой y=1/3x^3-x^2-x+1 параллельна прямой y=2x-1.

Answer 1

f(x) = 1/3x³ - x² - x + 1

Пусть в точке  х = а касательная к кривой, заданной функцией f(x), параллельна прямой y=2x-1.

f(a) = 1/3а³ - а² - а + 1

Найдём производную

f'(x) = x² - 2x - 1

f'(a) = 2, т.е.

а² - 2а - 1 = 2

Отсюда

а² - 2а - 3 = 0

D = 4 + 12 = 16

√D = 4

a₁ = (2 - 4):2 = -1

a₂ = (2 + 4):2 = 3

Найдём f(a₁) = -1/3 - 1+ 1 + 1 = 2/3

f(a₂) = (1/3)·27 - 9 - 3 + 1 = - 2

Ответ: А₁(-1, 2/3), А₂(3, -2)

Answer 2

Чтобы касательная к кривой y = (1/3)x^3 - x^2 - x + 1 была параллельна прямой y = 2x - 1, необходимо, чтобы производные этих функций были равны.

Найдем производные обеих функций:

y' = d/dx [(1/3)x^3 - x^2 - x + 1] = (1/3)(3x^2) - 2x - 1 = x^2 - 2x - 1

y' = d/dx (2x - 1) = 2

Таким образом, мы должны приравнять производные и решить уравнение:

x^2 - 2x - 1 = 2

Перенесем все в левую сторону:

x^2 - 2x - 3 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью факторизации или квадратного корня:

(x - 3)(x + 1) = 0

Отсюда получаем два возможных значения x:

x = 3 и x = -1.

Теперь подставим эти значения обратно в исходное уравнение для нахождения соответствующих точек:

Для x = 3: y = (1/3)(3^3) - 3^2 - 3 + 1 = 9 - 9 - 3 + 1 = -2

Таким образом, у нас есть точка (3, -2).

Для x = -1: y = (1/3)(-1^3) - (-1)^2 - (-1) + 1 = -1/3 - 1 - (-1) + 1 = -1/3 - 1 + 1 + 1 = -1/3

Таким образом, у нас есть точка (-1, -1/3).

Итак, касательная к кривой y = (1/3)x^3 - x^2 - x + 1 будет параллельна прямой y = 2x - 1 в двух точках: (3, -2) и (-1, -1/3).