Question

Найдите область определение у=arccos(х^2-х)

Answer 1

y = arccos(x² - x)

x² - x > -1 и x² - x < 1

1) x² - x + 1 > 0

D = -3 < 0 ⇒ можем не рассматривать.

2) x² - x - 1 < 0

D = 5

x₁ = 1/2 + √5/2; x₂ = 1/2 - √5/2.

x ∈ (1/2 - √5/2; 1/2 + √5/2)

Answer 2

Функция $y = \arccos(x^2 - x)$ определена только если аргумент $(x^2 - x)$ находится в диапазоне от -1 до 1, так как аргумент функции арккосинуса должен быть в интервале [-1, 1].

Таким образом, нам нужно решить неравенство:

$-1 \leq x^2 - x \leq 1$

Решим его по порядку:

$x^2 - x \geq -1$ - верхняя граница

$x^2 - x \leq 1$ - нижняя граница

Для нахождения области определения, решим неравенства:

$x^2 - x \geq -1$

Перенесем все в одну сторону:

$x^2 - x + 1 \geq 0$

Это квадратное уравнение. Мы можем найти его корни с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3$

Дискриминант отрицательный, поэтому у нас нет действительных корней. Значит, уравнение $x^2 - x + 1 = 0$ не имеет решений, и оно всегда положительно или равно нулю.

Таким образом, $x^2 - x + 1 \geq 0$ для любого значения $x$.

Теперь рассмотрим нижнюю границу:

$x^2 - x \leq 1$

Перенесем все в одну сторону:

$x^2 - x - 1 \leq 0$

Для нахождения решений этого неравенства, мы можем использовать квадратное уравнение или график функции. Если вы построите график $y = x^2 - x - 1$, то увидите, что она отрицательна в некотором интервале между корнями этого уравнения. Таким образом, мы должны найти корни уравнения $x^2 - x - 1 = 0$.

Применяя дискриминант, получаем:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(1)(-1) = 1 + 4 = 5$

Дискриминант положительный, поэтому у нас есть два действительных корня:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Таким образом, функция (y = \