Question

Найти экстремумы функции: y=2sinx+sin2x на отрезке [0; 3п/2]

Answer 1

Y`=2cosx+2cos2x=0 |:2
cos x +cos2x=0
cos x + 2 cos^2 x - 1 = 0
cos x (2cosx - 1)=0
cos x=-1 или cos x =1/2
x на промежутке от [0;3pi/2] имеет точки pi/3,pi.
y(0)=0
y(pi/3)=3 корня из 3/2
y(pi)=0

Answer 2

Чтобы найти экстремумы функции y = 2sin(x) + sin(2x) на отрезке [0, 3π/2], сначала найдем ее производную. Затем приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение.

y = 2sin(x) + sin(2x)

Дифференцируем обе части функции по переменной x:

y' = 2cos(x) + 2cos(2x)

Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение:

2cos(x) + 2cos(2x) = 0

Для упрощения уравнения, заменим cos(2x) через cos^2(x) - sin^2(x):

2cos(x) + 2(cos^2(x) - sin^2(x)) = 0

2cos(x) + 2cos^2(x) - 2sin^2(x) = 0

Разделим обе части уравнения на 2:

cos(x) + cos^2(x) - sin^2(x) = 0

Используя тригонометрические тождества (cos^2(x) = 1 - sin^2(x)), приведем уравнение к виду:

cos(x) + (1 - sin^2(x)) - sin^2(x) = 0

cos(x) + 1 - 2sin^2(x) = 0

Перенесем 1 на другую сторону уравнения:

cos(x) - 2sin^2(x) = -1

Подставим тригонометрическую замену: sin^2(x) = 1 - cos^2(x)

cos(x) - 2(1 - cos^2(x)) = -1

cos(x) - 2 + 2cos^2(x) = -1

2cos^2(x) + cos(x) - 1 = 0

Теперь решим это уравнение.

Используя факторизацию, получим:

(2cos(x) - 1)(cos(x) + 1) = 0

Таким образом, имеем два уравнения:

2cos(x) - 1 = 0 или cos(x) + 1 = 0

Решим первое уравнение:

2cos(x) - 1 = 0

2cos(x) = 1

cos(x) = 1/2

На отрезке [0, 3π/2] решение этого уравнения:

x = π/3

Решим второе уравнение:

cos(x) + 1 = 0

cos(x) = -1

На отрезке [0, 3π/2] решение этого уравнения:

x = π

Теперь найдем значения функции в найденных точках и на концах отрезка [0, 3π/2].

y(0) = 2sin(0) + sin(2*0) = 0 + 0 = 0