Question

Решите тригонометрические уравнения 4cos^2x - 11sinx - 11 = 0 2)3sin^2x + 8sin x cos x + 4cos^2x = 0 3)5tg x - 12ctg x +11=0 4)5sin 2x + 22sin^2x =16 5)2sin^2 x - 10cos 2x = 9sin 2x +10

Answer 1

1)  4cos^2x - 11sinx - 11 = 0
     4(1-sin²x) - 11sinx - 11 = 0
     4 - 4sin²x - 11sinx - 11 = 0
     - 4sin²x - 11sinx - 7 = 0
     Замена sinx на у, получаем квадратное уравнение:
      -4у² - 11у - 7 = 0
      Квадратное уравнение, решаем относительно y: 
Ищем дискриминант:D=(-11)^2-4*(-4)*(-7)=121-4*(-4)*(-7)=121-(-4*4)*(-7)=121-(-16)*(-7)=121-(-16*(-7))=121-(-(-16*7))=121-(-(-112))=121-112=9;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
y_1=(√9-(-11))/(2*(-4))=(3-(-11))/(2*(-4))=(3+11)/(2*(-4))=14/(2*(-4))=14/(-2*4)=14/(-8)=-14/8=-1.75;
y_2=(-√ 9-(-11))/(2*(-4))=(-3-(-11))/(2*(-4))=(-3+11)/(2*(-4))=8/(2*(-4))=8/(-2*4)=8/(-8)=-8/8=-1.
Первый корень отбрасываем (больше 1)
 sinx = -1   х = Arc sin(-1) = kπ + ((-1)^k)*(3π/2).

2)3sin^2x + 8sin x cos x + 4cos^2x = 0  
Делим обе части уравнения на cos^2x:
3tg²x + 8tgx + 4 = 0     Замена tgx = у. Получаем квадратное уравнение: 3у² + 8у + 4 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно y: 
Ищем дискриминант:D=8^2-4*3*4=64-4*3*4=64-12*4=64-48=16;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
y_1=(√16-8)/(2*3)=(4-8)/(2*3)=-4/(2*3)=-4/6=-(2//3)≈-0.666666666666667;
y_2=(-√ 16-8)/(2*3)=(-4-8)/(2*3)=-12/(2*3)=-12/6=-2.
Обратная замена: tgx₁ = -2/3    х₁ = πn - arc tg(2/3) =  πn -  0.5880026.
                                   tgx₂ = -2      х₂ = πn - arc tg(2) =   πn -  1.107149.

Остальные примеры решаются аналогично.

Answer 2

1. Решим уравнение 4cos^2x - 11sinx - 11 = 0:

Пусть t = sin(x), тогда cos(x) = sqrt(1 - t^2).

Подставим в уравнение и приведем его к квадратному виду:

4(1 - t^2) - 11t - 11 = 0, 4 - 4t^2 - 11t - 11 = 0, -4t^2 - 11t - 7 = 0.

Решим это квадратное уравнение:

t = (-(-11) ± sqrt((-11)^2 - 4*(-4)(-7))) / (2(-4)), t = (11 ± sqrt(121 - 112)) / (-8), t = (11 ± sqrt(9)) / (-8).

Таким образом, получаем два значения для t:

t1 = (11 + 3) / (-8) = -14/8 = -7/4, t2 = (11 - 3) / (-8) = -8/8 = -1.

Теперь найдем соответствующие значения для x:

Для t1: sin(x) = -7/4. Так как -1 <= sin(x) <= 1, то данное уравнение не имеет решений для t1.

Для t2: sin(x) = -1. Тогда x = -pi/2 + 2k*pi, где k - целое число.

Таким образом, решение уравнения 4cos^2x - 11sinx - 11 = 0: x = -pi/2 + 2k*pi, где k - целое число.

2. Решим уравнение 3sin^2x + 8sin x cos x + 4cos^2x = 0:

3sin^2x + 8sin x cos x + 4cos^2x = 0, 3sin^2x + 4cos^2x + 8sin x cos x = 0.

Заметим, что выражение 3sin^2x + 4cos^2x является тождественно равным 3:

3 + 8sin x cos x = 0, 8sin x cos x = -3.

Мы можем заменить sin x cos x на (1/2)sin(2x):

4sin(2x) = -3.

sin(2x) = -3/4.

Для решения этого уравнения, найдем сначала значения arcsin(-3/4).

arcsin(-3/4) ≈ -0.8481 и -2.2935.

Теперь найдем соответствующие значения для x:

2x ≈ -0.8481 + 2kpi и 2x ≈ -2.2935 + 2kpi, x ≈ -0.4241 + kpi и x ≈ -1.1467 + kpi, где k - целое число.

Таким образом, решение уравнения 3sin^2x + 8sin x cos x + 4cos^2x = 0: x ≈ -0.4241 +