Question

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2; y=√x

Answer 1

.......Решение на фото :)

Answer 2

Площадь - это определенный интеграл от (√х-х²) от нуля до единицы. Действительно,

найдем пределы интегрирования и применим формулу Ньютона-Лейбница. Получим. √х=х²⇒на области определения х=х⁴, х*(1-х³)=0, откуда х=0; х=1, а интеграл считаем от 0 до 1, получим

2х√х/3-х³/3

2*1*√1/3-1³/3-0=1/3

Ответ 1/3

Answer 3

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = x^2 и y = √x, необходимо найти точки их пересечения, а затем найти определенный интеграл площади между этими точками.

Сначала найдем точки пересечения функций: x^2 = √x

Для решения этого уравнения, возводим обе части в квадрат: x^4 = x

Теперь приведем все в одну степень: x^4 - x = 0

Факторизуем это уравнение: x(x^3 - 1) = 0

Таким образом, имеем две возможные точки пересечения: x = 0 и x^3 - 1 = 0

Первая точка пересечения: x = 0. Подставим это значение в функции, чтобы найти соответствующие значения y: y = 0^2 = 0

Вторая точка пересечения: x^3 - 1 = 0. Решим это уравнение: x^3 = 1 x = 1

Подставим это значение x в функции, чтобы найти соответствующие значения y: y = 1^2 = 1

Теперь вычислим площадь между функциями, интегрируя разность между ними от x = 0 до x = 1: Площадь = ∫(√x - x^2) dx, где x принимает значения от 0 до 1.

Вычислим интеграл: Площадь = ∫(√x - x^2) dx = [2/3 * x^(3/2) - 1/3 * x^3] от 0 до 1

Подставим верхний предел интегрирования: Площадь = [2/3 * 1^(3/2) - 1/3 * 1^3] - [2/3 * 0^(3/2) - 1/3 * 0^3]

Подставим нижний предел интегрирования: Площадь = [2/3 * 1^(3/2) - 1/3 * 1^3] - [0]

Упростим выражение: Площадь = 2/3 - 1/3 = 1/3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = x^2 и y = √x, равна 1/3.