Question

Решите неравенство: 1/x^2-2x ≤0

Answer 1

1/x² - 2x ≤ 0 ;  ОДЗ : x ≠ 2
(2x³ -1)/x² ≥ 0;
 2x³ -1 ≥ 0;
x ≥ 1/∛2 .
================
x∈ [ 1/∛2 ; ∞)

Answer 2

Для решения данного неравенства, нужно рассмотреть знак выражения $(1/x^2-2x)$ в трех интервалах: $(- \infty, 0)$, $(0, 1)$ и $(1, +\infty)$.

1. Рассмотрим интервал $(- \infty, 0)$: Если $x < 0$, то $x^2 > 0$ и $x^2 > 2x$. Значит, $\frac{1}{x^2} > \frac{1}{2x}$. Поскольку оба множителя являются положительными числами, при делении неравенства на положительные значения сохраняется его знак. Таким образом, получаем: $\frac{1}{x^2} - 2x < 0$.

2. Рассмотрим интервал $(0, 1)$: Если $0 < x < 1$, то $x^2 > 0$ и $x^2 < 2x$. Значит, $\frac{1}{x^2} < \frac{1}{2x}$. Поскольку оба множителя являются положительными числами, при делении неравенства на положительные значения сохраняется его знак. Таким образом, получаем: $\frac{1}{x^2} - 2x > 0$.

3. Рассмотрим интервал $(1, +\infty)$: Если $x > 1$, то $x^2 > 0$ и $x^2 > 2x$. Значит, $\frac{1}{x^2} > \frac{1}{2x}$. Поскольку оба множителя являются положительными числами, при делении неравенства на положительные значения сохраняется его знак. Таким образом, получаем: $\frac{1}{x^2} - 2x < 0$.

Таким образом, мы получили два интервала, на которых выполняется неравенство:

1. $(- \infty, 0)$
2. $(1, +\infty)$

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (1, +\infty)$