Question

Помогите довести тотожность: ctg (a+пи/4)=1-tg a :дробью: 1+tg a

Answer 1

На фото........................

Answer 2

Для доказательства данной тождественности, начнем с левой стороны уравнения:

ctg(a + π/4) = 1 - tg(a) / (1 + tg(a))

Преобразуем ctg(a + π/4) используя определение ctg(x) = cos(x) / sin(x):

= cos(a + π/4) / sin(a + π/4)

Применим формулы тригонометрии для суммы углов:

= (cos(a) * cos(π/4) - sin(a) * sin(π/4)) / (sin(a) * cos(π/4) + cos(a) * sin(π/4))

Учитывая, что cos(π/4) = sin(π/4) = 1/√2, получим:

= (cos(a)/√2 - sin(a)/√2) / (sin(a)/√2 + cos(a)/√2)

Упростим числитель и знаменатель, умножив их на √2:

= (cos(a) - sin(a)) / (sin(a) + cos(a))

Мы получили выражение, которое может быть записано в виде 1 - tg(a) / (1 + tg(a)), что и требовалось доказать. Таким образом, тождество ctg(a + π/4) = 1 - tg(a) / (1 + tg(a)) верно.