Question

Найти производную 1)y=lg(10-x)\(x+2) 2)y=lnкорень из x2-1 3)y=(sin2x+1)e в спевени х

Answer 1

1)  $y'= \frac{(lg(10-x)'*(x+2)-lg(10-x)*(x+2)'}{(x+2)^2} = \frac{ \frac{1}{10-x}*(-1)(x+2)-lg(10-x)*1}{(x+2)^2}=$ $\frac{ \frac{x+2}{x-10}-lg(10-x)}{(x+2)^2}$
2)  $y'=(ln \sqrt{x^2-1})'= \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}* \frac{1}{2*\sqrt{x^2-1}}*2x= \frac{x}{x^2-1}$
3)  $y'=(sin2x+1)e^x=(sin2x+1)'e^x+(sin2x+1)e^x'=e^x*cos2x*2$ $+(sin2x+1)e^x=e^x(2*cosx+sin2x+1)$

Answer 2

1. Для нахождения производной функции y = lg((10 - x)/(x + 2)) по переменной x применим правило дифференцирования сложной функции.

Сначала найдем производную внутренней функции u = (10 - x)/(x + 2): u' = [(10 - x)'(x + 2) - (10 - x)(x + 2)'] / (x + 2)^2 = [-1(x + 2) - (10 - x)] / (x + 2)^2 = (-x - 2 - 10 + x) / (x + 2)^2 = -12 / (x + 2)^2

Теперь найдем производную внешней функции y = lg(u): y' = (1/u) * u' = (-12 / (x + 2)^2) / (10 - x)/(x + 2) = -12 / (x + 2)(10 - x)

Таким образом, производная функции y = lg((10 - x)/(x + 2)) равна y' = -12 / (x + 2)(10 - x).

2. Рассмотрим функцию y = ln(√(x^2 - 1)).

Применим правило дифференцирования сложной функции. Обозначим внутреннюю функцию как u = √(x^2 - 1).

u' = (1/2) * (x^2 - 1)^(-1/2) * (2x) = x / √(x^2 - 1)

Теперь найдем производную внешней функции y = ln(u):

y' = (1/u) * u' = (1/√(x^2 - 1)) * (x / √(x^2 - 1)) = x / (x^2 - 1)

Таким образом, производная функции y = ln(√(x^2 - 1)) равна y' = x / (x^2 - 1).

3. Рассмотрим функцию y = (sin(2x) + 1) * e^x.

Применим правило дифференцирования произведения функций.

Для первого слагаемого (sin(2x) + 1): Первое слагаемое можно представить как сумму функций: y = sin(2x) + 1. Тогда y' = (sin(2x))' + (1)' = 2(cos(2x)) + 0 = 2cos(2x)

Для второго слагаемого e^x: Производная функции e^x равна самой функции: (e^x)' = e^x.

Теперь, используя правило дифференцирования произведения, получаем: y' = (2cos(2x)) * e^x + (sin(2x) + 1) * (e^x)' = 2cos(2x) * e^x