Question

Найдите площадь фигуры ограниченой графиком функции y=4x^2-1 и осью абсцисс

Answer 1

$S = 2 \int\limits^1_0 {4x^2-1} \, dx = \frac{8x^3}{3}$ от 0 до 1

$S = \frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3}$

Answer 2

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = 4x^2 - 1 и осью абсцисс, мы должны вычислить определенный интеграл этой функции в интервале, где она находится выше оси абсцисс.

Сначала найдем точки пересечения графика с осью абсцисс, то есть значения x, при которых y = 0:

4x^2 - 1 = 0

4x^2 = 1

x^2 = 1/4

x = ±√(1/4) = ±1/2

Таким образом, точки пересечения графика с осью абсцисс -1/2 и 1/2.

Теперь вычислим площадь фигуры, используя определенный интеграл:

Площадь = ∫[a, b] (4x^2 - 1) dx

где a = -1/2 и b = 1/2.

Вычислим этот интеграл:

∫[a, b] (4x^2 - 1) dx = [4/3 * x^3 - x] [a, b]

= (4/3 * (1/2)^3 - 1/2) - (4/3 * (-1/2)^3 - (-1/2))

= (4/3 * 1/8 - 1/2) - (4/3 * (-1/8) - (-1/2))

= (1/6 - 1/2) - (-1/6 - 1/2)

= (1/6 - 3/6) - (-1/6 - 3/6)

= -2/6 + 4/6

= 2/6

= 1/3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = 4x^2 - 1 и осью абсцисс, равна 1/3 единицы площади.