Question

докажите тождество (〖sin〗^4 α-〖cos〗^4 α)/(〖sin〗^2 α)+2〖ctg〗^2 α=1/(〖sin〗^2 α) напишите подробно как доказать

Answer 1

(sin⁴α-cos⁴α)/(sin²α)+2ctg²α=1/(sin²α) 

чтобы доказать какое-либо дождество надо одну из частей привести к другой. Мы будем рассматривать левую часть и приведем ее к виду правой:

 

(sin⁴α-cos⁴α)/(sin²α)+2ctg²α = (sin²α-cos²α)(sin²α+cos²α)/(sin²α)+2ctg²α = 

теперь воспоьзуемся тождеством:

sin²α+cos²α=1

sin²α=1-cos²α

и подставим в числителе полученное выражение:

 = (1-cos²α-cos²α)(1-cos²α+cos²α)/(sin²α)+2ctg²α = (1-2cos²α)/(sin²α)+2ctg²α = 

теперь применим, что

ctg²α = cos²α/sin²α

подставим:

= (1-2cos²α)/(sin²α)+2cos²α/sin²α = (1-2cos²α+2cos²α)/(sin²α) = 1/(sin²α)  - а это и есть правая часть нашего тождества. Следовательно, оно доказано.

Answer 2

Для доказательства данного тождества, мы начнем с левой стороны и преобразуем её с использованием тригонометрических тождеств. Давайте посмотрим на каждый шаг более подробно:

1. Начнем с левой стороны и заменим 2 ctg^2 α с помощью тригонометрического соотношения: ctg α = cos α / sin α. Получим: (sin^4 α - cos^4 α)/(sin^2 α) + 2(cos α / sin α)^2.

2. Раскроем квадраты ctg α: (sin^4 α - cos^4 α)/(sin^2 α) + 2(cos^2 α / sin^2 α).

3. Приведем выражение к общему знаменателю: (sin^4 α - cos^4 α + 2cos^2 α) / sin^2 α.

4. Факторизуем числитель (используя формулу разности квадратов): [(sin^2 α - cos^2 α)(sin^2 α + cos^2 α) + 2cos^2 α] / sin^2 α.

5. Заменим sin^2 α + cos^2 α на 1 (тождество тригонометрии): [(sin^2 α - cos^2 α) + 2cos^2 α] / sin^2 α.

6. Сократим (sin^2 α - cos^2 α) + 2cos^2 α в числителе: [sin^2 α + cos^2 α] / sin^2 α.

7. Заменим sin^2 α + cos^2 α на 1: 1 / sin^2 α.

Таким образом, мы получили правую сторону тождества. Доказательство завершено.

Таким образом, мы показали, что (sin^4 α - cos^4 α)/(sin^2 α) + 2ctg^2 α = 1/(sin^2 α).