Question

Log2(x-1)+log(x+1)>3 Решите пожалуйста неравенство)

Answer 1

ОДЗ:
x-1>0
x+1>0

x>1

При сумме логарифмов происходит умножение аргументов, дальше избавляемся от логарифмов, и так как log2 x возрастает на всех положительных числах, то знак не меняем
(x-1)(x+1)>2^3
(x-1)(x+1)>8
x^2-1>8
x^2-9>0
(x-3)(x+3)>0
Решаем методом интервалов, либо смотрим, что это гипербола, ветви вверх, нули функции 3 и -3 решение
(-3;3) 
Пересекем с ОДЗ
получаем промежуток от 1 до 3
(1;3) Ответ: (1;3)

Answer 2

Для решения данного неравенства, мы должны преобразовать его с использованием свойств логарифмов. В данном случае, мы можем объединить два логарифма в один, используя свойство произведения логарифмов:

log2((x-1)(x+1)) > 3.

Затем мы можем применить обратную функцию логарифма, возведя обе стороны неравенства в степень 2:

2^(log2((x-1)(x+1))) > 2^3,

(x-1)(x+1) > 2^3.

Упростим правую сторону неравенства:

(x-1)(x+1) > 8.

Теперь раскроем скобки:

x^2 - 1 > 8.

Перенесём 8 на левую сторону:

x^2 - 1 - 8 > 0,

x^2 - 9 > 0.

Теперь факторизуем левую сторону неравенства:

(x - 3)(x + 3) > 0.

Уравнение (x - 3)(x + 3) = 0 имеет два корня: x = -3 и x = 3.

Теперь мы можем построить таблицу знаков, чтобы определить значения x, удовлетворяющие неравенству:

-3 3 |--------|--------| (-∞) 0 ( ) (∞)

Условие неравенства говорит нам, что (x - 3)(x + 3) должно быть больше нуля. Это означает, что x должно находиться либо в интервале (-∞, -3), либо в интервале (-3, 3), либо в интервале (3, ∞).

Таким образом, решением данного неравенства являются два интервала: (-∞, -3) и (3, ∞).