Question

Найдите все тройки простых чисел для которых все 3 их положительные попарные разности тоже простые

Answer 1

0 - не простое число, попарные разности простые => никакая разность не равна 0 => все числа в тройке различны.

Единственное четное простое число - 2. Тогда в тройке по крайней мере 2 нечетных числа => по крайней мере одна разность (как раз этих чисел) будет четной. Т.к. все попарные разности простые, то эта разность равна 2. => тройка имеет вид (a; b; b+2), а разности - |a-b|, |a-b-2|, |b-b-2|=2.

1) Все числа тройки нечетные => все разности четные => все равны 2 =>  |a-b| = |a-b-2| = 2

a-b=-2 => |a-b-2|=4 - не подходит

a-b=2 => |a-b-2|=0 - не подходит

2) Значит в тройке ровно 2 нечетных числа.

Если b=2, то b+2=4 - не простое.

Если b+2=2, то  b=0 - не простое

Тогда a=2 => тройка имеет вид (2; b; b+2), а разности - |2-b|=b-2, |2-b-2|=b, |b-b-2|=2.

Значит b-2, b и b+2 простые. Из чисел такого вида хотя бы одно кратно 3 (b≡0(mod 3)=>b кратно 3, b≡1(mod 3)=>b+2 кратно 3, b≡2(mod 3)=>b-2 кратно 3). Значит какое-то из них равно 3

b-2=3 => b=5, b+2=7 - простые => (2; 5; 7)

b=3 => b-2=1 - не простое

b+2=3 => b=1 - не простое

Ответ: (2; 5; 7)

Answer 2

Для поиска всех троек простых чисел, удовлетворяющих условию, можно использовать перебор всех возможных комбинаций простых чисел и проверку их разностей на простоту. Вот пример кода на Python, который реализует данную задачу:

pythonCopy code
def is_prime(n):
    if n <= 1:
        return False
    for i in range(2, int(n**0.5) + 1):
        if n % i == 0:
            return False
    return True

def find_prime_triplets():
    prime_triplets = []
    prime_numbers = [n for n in range(2, 100) if is_prime(n)]  # Ограничение до 100 для примера, можно изменить по необходимости
    for i in range(len(prime_numbers)):
        for j in range(i + 1, len(prime_numbers)):
            for k in range(j + 1, len(prime_numbers)):
                a = prime_numbers[i]
                b = prime_numbers[j]
                c = prime_numbers[k]
                if is_prime(abs(a - b)) and is_prime(abs(b - c)) and is_prime(abs(a - c)):
                    prime_triplets.append((a, b, c))
    return prime_triplets

triplets = find_prime_triplets()
for triplet in triplets:
    print(triplet)

Приведенный код найдет все тройки простых чисел, для которых все три попарные разности также являются простыми. Ограничение до числа 100 используется только для примера, и его можно изменить в зависимости от требуемого диапазона чисел. Обратите внимание, что данная задача может быть вычислительно затратной, особенно для больших чисел.