Question

разность между первым и вторым членами геометрической прогрессии равна 8 а сумма второго и третьего члена 12 найдите первый член и знаменатель прогрессии

Answer 1

$\begin{cases}b_1-b_2=8\\b_2+b_3=12\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}b_1-b_1q=8\\b_1q+b_1q^2=12\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}b_1=\frac8{1-q}\\\frac8{1-q}\cdot q+\frac8{1-q}\cdot q^2=12\end{cases}\\\frac{8q}{1-q}+\frac{8q^2}{1-q}=12\\\frac{8q+8q^2}{1-q}=12\\8q+8q^2=12-12q\\8q^2+20q-12=0\;\;\div 4\\2q^2+5q-3=0\\D=25+4\cdot2\cdot3=49\\q_{1,2}=\frac{-5\pm7}{4}\\q_1=-3,\;q_2=\frac12\\\begin{cases}b_1=2\\q=-3\end{cases}\quad\quad\quad\quad\begin{cases}b_1=16\\q=\frac12\end{cases}$

Answer 2

Пусть первый член геометрической прогрессии равен "a", а знаменатель прогрессии равен "q".

У нас дано, что разность между первым и вторым членами прогрессии равна 8, поэтому второй член будет равен "a*q".

Также дано, что сумма второго и третьего членов прогрессии равна 12, то есть "aq + aq^2 = 12".

Учитывая эти условия, мы можем записать систему уравнений:

1. a*q - a = 8
2. aq + aq^2 = 12

Давайте решим эту систему уравнений:

Из первого уравнения выразим "a" через "q": aq - a = 8 aq = 8 + a a*(q - 1) = 8 a = 8 / (q - 1)

Теперь подставим это значение "a" во второе уравнение: (8 / (q - 1))*q + (8 / (q - 1))*q^2 = 12 8q + 8q^2 = 12(q - 1) 8q + 8q^2 = 12q - 12 8q^2 - 4q - 12 = 0 2q^2 - q - 3 = 0

Мы получили квадратное уравнение. Решим его с помощью квадратного уравнения:

q = (-(-1) ± √((-1)^2 - 4 * 2 * (-3))) / (2 * 2) q = (1 ± √(1 + 24)) / 4 q = (1 ± √25) / 4

Таким образом, у нас два возможных значения для "q":

q₁ = (1 + √25) / 4 q₂ = (1 - √25) / 4

Теперь найдем соответствующие значения "a" для каждого значения "q".

Для q₁: a = 8 / (q₁ - 1) a = 8 / (((1 + √25) / 4) - 1) a = 8 / ((1 + √25 - 4) / 4) a = 8 / ((√25 - 3) / 4) a = (8 * 4) / (√25 - 3) a = 32 / (√25 - 3)

Для q₂: a = 8 / (q₂ - 1) a = 8 / (((1 - √25) / 4) - 1) a = 8 / ((1 - √25 - 4) / 4) a = 8 / ((-√25 - 3) / 4) a = (8 * 4) / (-√25 - 3) a = -32 / (√25 + 3)

Таким образом, мы получили две пары значений для первого члена ("a") и зн