Question

Известно что, некоторая обыкновенная дробь не изменится, если к ее числителю прибавить 2, а к знаменателю 3. Если же к знаменателю прибавить 6, а к числителю 1, то дроб уменьшится на 1/3. Найдите эту дробь

Answer 1

Ответ: 2/3.

Объяснение:

Пусть a/b - неизвестная дробь. По условию, (a+2)/(b+3)=a/b и (a+1)/(b+6)=a/b-1/3. Таким образом, имеем систему уравнений:

(a+2)/(b+3)=a/b

(a+1)/(b+6)=a/b-1/3

Первое уравнение приводится к виду 2*b=3*a, откуда b=3*a/2. Подставляя это выражение во второе уравнение, приходим к уравнению  3*a/2=3, откуда a=2. Тогда b=3*2/2=3, а значит, искомая дробь имеет вид 2/3.

Проверка: 2/3=(2+2)/(3+3)=4/6=2/3, (2+1)/(3+6)=3/9=1/3=2/3-1/3, так что дробь найдена верно.  

Answer 2

Пусть исходная дробь равна a/b. Тогда, в соответствии с условием, получаем два уравнения:

(a + 2) / (b + 3) = a / b ---- (1) (a + 1) / (b + 6) = (a - 1/3) / b ---- (2)

Решим систему этих уравнений. Распишем первое уравнение:

(a + 2) / (b + 3) = a / b

Умножим обе части уравнения на b(b + 3), чтобы избавиться от знаменателя:

b(a + 2) = a(b + 3)

ab + 2b = ab + 3a

2b - 3a = 0 ---- (3)

Распишем второе уравнение:

(a + 1) / (b + 6) = (a - 1/3) / b

Умножим обе части уравнения на b(b + 6), чтобы избавиться от знаменателя:

b(a + 1) = (a - 1/3)(b + 6)

ab + b = ab + 6a - (b/3) - 2/3

3ab + 3b = 3ab + 18a - b - 2

3b + b + 2 = 18a - 3ab

4b + 2 = 18a - 3ab

18a - 3ab - 4b = 2 ---- (4)

Теперь решим систему уравнений (3) и (4).

Умножим уравнение (3) на 3:

6b - 9a = 0 ---- (5)

Вычтем уравнение (5) из уравнения (4):

18a - 3ab - 4b - (6b - 9a) = 2

18a - 3ab - 4b - 6b + 9a = 2

27a - 3ab - 10b = 2 ---- (6)

Теперь решим уравнения (5) и (6) относительно a и b.

Из уравнения (5) выразим b:

6b = 9a

b = (3/2)a ---- (7)

Подставим выражение для b из уравнения (7) в уравнение (6):

27a - 3a(3/2)a - 10(3/2)a = 2

27a - 9a^2 - 15a = 2

9a^2 + 15a - 27a + 2 = 0

9a^2 - 12a + 2 = 0

Решим это квадратное уравнение. Используя дискриминант, получаем:

D = (-12)^2 - 4 * 9 * 2 = 144 - 72 = 72

a = (-(-12) ± √72) / (2 * 9)

a = (12 ± √72) / 18