Question

Объясните пожалуйста подробно как решается следующее задание Найдите точку максимума функции y=((x-5)^2)*e^x-7

Answer 1

Y=((x-5)^2)*e^x-7 = (х² -10х +25)*е^(x -7)
разбираемся:
точка максимума - это значение "х" , при переходе через которую производная меняет свой знак с "+"  на "-"
Так что будем искать производную, приравнивать к  нулю, решать получившееся уравнение и смотреть смену знаков производной в найденных точках.
y' = (2x -10)*e^(x-7) +(х² -10х +25)*е^(x -7)  =
 =e^(x -7)(2x -10 + x² -10x +25)=e^(x-7)(x²-8x +15)
e^(x-7)(x²-8x +15) = 0
e^(x-7) ≠0,    (x²-8x +15) = 0
                     корни 3 и 5
-∞          3               5            +∞
        +             -               +       это знаки производной.
           max
Ответ: х max = 3

Answer 2

Чтобы найти точку максимума функции, нужно найти значения переменной x, при которых функция достигает своего максимального значения y.

Для начала, возьмем производную функции y по переменной x. Поскольку функция содержит как степенную функцию (x-5)^2, так и экспоненциальную функцию e^x, мы воспользуемся правилом производной произведения функций и правилом производной экспоненты.

1. Найдем производную функции y по x: y' = (2(x-5) * e^x) + ((x-5)^2 * e^x)

2. Уравняем производную функции y' равной нулю и решим полученное уравнение относительно x: 0 = (2(x-5) * e^x) + ((x-5)^2 * e^x)

   Мы можем заметить, что e^x не равно нулю для любого значения x, поэтому мы можем делить уравнение на e^x: 0 = 2(x-5) + (x-5)^2

   Раскроем квадрат и приведем подобные слагаемые: 0 = 2(x-5) + (x^2 - 10x + 25) 0 = x^2 - 8x + 15

3. Теперь решим полученное квадратное уравнение. Мы можем факторизовать его или воспользоваться формулой корней квадратного уравнения.

   Разложим уравнение на множители: 0 = (x - 3)(x - 5)

   Таким образом, получаем два корня: x = 3 и x = 5.

4. Теперь нужно проверить значения функции y на границах и между корнями, чтобы определить точку максимума. Для этого вычислим значение функции y при x = 3, x = 5 и в точке между ними, например, при x = 4.

   Подставим x = 3 в исходную функцию: y = ((3-5)^2) * e^3 - 7 = (4) * e^3 - 7

   Подставим x = 5: y = ((5-5)^2) * e^5 - 7 = 0 * e^5 - 7 = -7

   Подставим x = 4: y = ((4-5)^2) * e^4 - 7 = (1) * e^4 - 7

   Мы видим, что значение функции y при x = 3 и x = 5 необходимо сравнить с значением функции y при x = 4. Исходя из этого сравнения, можно определить, в какой точке функция