Question

Найдите дифференциал второго порядка : у=сos x * 3^x

Answer 1

$y=3^xcosx\\ d^2y=y''dx^2\\ y'=3^x \ln 3 \cos x-3^x \sin x= 3^x (\ln 3 \cos x- \sin x)\\ y''=3^x \ln 3(\ln 3 \cos x- \sin x)+3^x(- \ln 3 \sin x- \cos x) = \\ = 3^x \ln^2 3 \cos x - 2 \cdot 3^x \ln 3 \sin x -3^x \cos x\\ \\ \Rightarrow \ d^2y = 3^x( \ln^2 3 \cos x - 2 \ln 3 \sin x - \cos x)\ dx^2$

Answer 2

Чтобы найти дифференциал второго порядка функции у = сos(x) * 3^x, мы сначала найдем первый дифференциал, а затем найдем его дифференциал.

Шаг 1: Найдем первый дифференциал функции у.

Пусть f(x) = cos(x) и g(x) = 3^x. Тогда у = f(x) * g(x).

Применим правило произведения для нахождения первого дифференциала:

u = f(x), v = g(x)

u' = -sin(x) (производная cos(x)) v' = ln(3) * 3^x (производная 3^x)

Теперь найдем первый дифференциал функции y:

y' = u' * v + u * v' = -sin(x) * 3^x + cos(x) * ln(3) * 3^x = (-sin(x) + cos(x) * ln(3)) * 3^x

Шаг 2: Найдем второй дифференциал функции у.

Для этого найдем первый дифференциал от y':

y'' = (-sin(x) + cos(x) * ln(3))' * 3^x + (-sin(x) + cos(x) * ln(3)) * (3^x)' = (-cos(x) - sin(x) * ln(3)) * 3^x + (-sin(x) + cos(x) * ln(3)) * ln(3) * 3^x = [(-cos(x) - sin(x) * ln(3)) + (-sin(x) + cos(x) * ln(3)) * ln(3)] * 3^x

Таким образом, дифференциал второго порядка функции у = сos(x) * 3^x равен:

y'' = [(-cos(x) - sin(x) * ln(3)) + (-sin(x) + cos(x) * ln(3)) * ln(3)] * 3^x