Question

При каких значениях а система уравнений имеет только одно решение:

Answer 1

$\left \{ {{x+y=a} \atop {xy=9}} \right.$

Если мы найдём решения заданной системы, то согласно
теореме Виета они будут являться также и  решениями квадратного уравнения   $x^2-ax+9=0$  (сумма корней = второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней = свободному члену) . 
Единственное решение квадратное уравнение имеет тогда, когда D=0 , то есть

$D=a^2-36=0\; \; \to \; \; a^2=36\; ,\; \; a=\pm 6$

Ответ:  а=-6  или  а=6 .

Answer 2

Для системы уравнений имеющей только одно решение, все уравнения должны быть линейно независимыми и количество уравнений должно быть равно количеству неизвестных переменных.

Если система уравнений имеет n неизвестных переменных, то она имеет только одно решение, если следующие два условия выполняются одновременно:

1. Количество уравнений равно n.
2. Матрица коэффициентов при неизвестных переменных имеет полный ранг.

Полный ранг матрицы коэффициентов означает, что ни одна строка матрицы не может быть выражена линейно через другие строки. Если матрица коэффициентов имеет полный ранг, то система уравнений имеет только одно решение.

Уточните, пожалуйста, систему уравнений и количество неизвестных переменных (n), чтобы я могу дать более конкретный ответ.