Question

Доказать,что для любых а,б принадлежащих R,4а^2+9б^2 больше либо равно 12аб

Answer 1

4a^2 + 9b^2 - 12ab >=0

(2a - 3b)^2 >=0

квадрат числа всегда >=0

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом математической индукции.

Шаг 1: База индукции Для a = 0 и b = 0 оба выражения равны нулю: 4(0)^2 + 9(0)^2 = 0 и 12(0)(0) = 0. Таким образом, база индукции выполнена.

Шаг 2: Предположение индукции Предположим, что утверждение верно для некоторых a и b, то есть 4a^2 + 9b^2 ≥ 12ab.

Шаг 3: Индукционный переход Докажем, что утверждение также верно для a + 1 и b + 1.

Рассмотрим выражение 4(a + 1)^2 + 9(b + 1)^2: 4(a + 1)^2 + 9(b + 1)^2 = 4(a^2 + 2a + 1) + 9(b^2 + 2b + 1) = 4a^2 + 8a + 4 + 9b^2 + 18b + 9 = (4a^2 + 9b^2) + (8a + 18b + 13).

Теперь рассмотрим выражение 12(a + 1)(b + 1): 12(a + 1)(b + 1) = 12(ab + a + b + 1) = 12ab + 12a + 12b + 12.

Таким образом, мы получили: 4(a + 1)^2 + 9(b + 1)^2 = (4a^2 + 9b^2) + (8a + 18b + 13) ≥ (12ab) + (8a + 18b + 13) (в соответствии с предположением индукции) = 12ab + 8a + 18b + 13 ≥ 12ab + 12a + 12b + 12 = 12(ab + a + b + 1) = 12(a + 1)(b + 1).

Таким образом, мы доказали, что если утверждение выполняется для a и b, то оно также выполняется для a + 1 и b + 1.

Шаг 4: Заключение Исходя из базы индукции и индукционного перехода, мы можем сделать вывод, что для любых a, b принадлежащих R, 4a^2 + 9b^2 ≥ 12ab.