Question

Тригонометрические уравнения: 4cos^2x+sin2x=1

Answer 1

4(cosx)^2+2sinx*cosx=(sinx)^2+(cosx)^2
(sinx)^2+2sinx*cosx-3(cosx)^2=0
(tgx)^2+2tgx-3=0
1+2-3=0
tgx=1; tgx=-3
x=П/4+Пn, n - целое число
x=-arctg3 + Пk, k- целое число

Answer 2

Давайте решим данное тригонометрическое уравнение шаг за шагом.

Уравнение: 4cos^2x + sin2x = 1

Для начала заметим, что sin2x = 2sinxcosx. Подставим это значение в уравнение:

4cos^2x + 2sinxcosx = 1

Теперь приведём уравнение к более удобному виду, используя тригонометрическую формулу cos^2x = 1 - sin^2x:

4(1 - sin^2x) + 2sinxcosx = 1

Раскроем скобки:

4 - 4sin^2x + 2sinxcosx = 1

Перенесём все слагаемые в левую часть уравнения:

-4sin^2x + 2sinxcosx - 3 = 0

Упростим уравнение, разделив все коэффициенты на -1:

4sin^2x - 2sinxcosx + 3 = 0

Теперь давайте введём новую переменную t = sinx:

4t^2 - 2tcost + 3 = 0

Данное квадратное уравнение можно решить с помощью квадратного трёхчлена или формулы дискриминанта.

Дискриминант D квадратного уравнения At^2 + Bt + C = 0 вычисляется по формуле D = B^2 - 4AC.

В нашем случае A = 4, B = -2, и C = 3. Подставим значения в формулу дискриминанта:

D = (-2)^2 - 4(4)(3) = 4 - 48 = -44

Поскольку дискриминант D отрицательный, уравнение не имеет решений в области действительных чисел. Таким образом, исходное тригонометрическое уравнение 4cos^2x + sin2x = 1 не имеет решений.