Question

Найдите площадь фигуры ограниченной и графиком функции y=x^2-6x+10, прямой y=-2+2x

Answer 1

Найдем сначала пределы интегрирования
х^2-6х+10=-2+2х.
х^2-8х+12=0.
х^2-6х-2х+12=0.
х(х-6)-2(х-6)=0.
(х-2)(х-6)=0.
Нижний предел х=2, верхний предел х=6.
Для нахождения площади искомой фигуры нужно найти интеграл $((-2-2х)-(х^2-6х+10))dx= -$х^2 dx +8$x dx -12$ dx = -x^3/3 + 4x^2 -12x = (-6^3/3 +4·6^2 - 12·6) - (-2^3/3 +4·2^2 -12·2)=-216/3 + 72 + 8/3 + 8=-208/3 + 80=(240-208)/3=32/3= 10 целых 2/3.

Answer 2

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = x^2 - 6x + 10 и y = -2 + 2x, нам нужно найти точки их пересечения и вычислить определенный интеграл между этими точками.

Для начала найдем точки пересечения двух функций, приравняв их друг к другу:

x^2 - 6x + 10 = -2 + 2x

Перенесем все члены в одну сторону и приведем квадратное уравнение к стандартному виду:

x^2 - 8x + 12 = 0

Теперь разложим это уравнение на множители:

(x - 2)(x - 6) = 0

Таким образом, получаем две точки пересечения: x = 2 и x = 6.

Теперь мы можем вычислить площадь фигуры, интегрируя разность двух функций между этими точками:

Площадь = ∫[2, 6] (x^2 - 6x + 10 - (-2 + 2x)) dx

Упростим это выражение:

Площадь = ∫[2, 6] (x^2 - 6x + 10 + 2 - 2x) dx = ∫[2, 6] (x^2 - 8x + 12) dx

Теперь возьмем интеграл этой функции:

Площадь = [x^3/3 - 4x^2 + 12x] [2, 6] = (6^3/3 - 4(6)^2 + 12(6)) - (2^3/3 - 4(2)^2 + 12(2))

Расчеты:

Площадь = (72/3 - 144 + 72) - (8/3 - 16 + 24) = (24 - 144 + 72) - (8/3 - 16 + 24) = -48 + 8/3 - 16 + 24 = -48 + 8/3 - 48/3 + 72/3 = -48 - 40/3 + 72/3 = -144/3 - 40/3 + 72/3 = -112/3 + 72/3 = -40/3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = x^2 - 6x + 10 и y = -2 + 2x, равна -40/3 или приближенно -13.33 квадратных единиц. Обратите внимание, что площадь отрицательная, что говорит о том, что графики пересекаются в определенной области