Question

Найдите значение выражения: sin(2arcctg4)

Answer 1

Ответ ответ ответ ответ ответ ответ

Answer 2

Синус двойного угла: sin 2a = 2sin a*cos a
arcctg 4 - это такой угол x, что ctg x = cos x/sin x = 4.
Отсюда найдем sin x и cos x
$\frac{cos(x)}{sin(x)} = \frac{ \sqrt{1-sin^2(x)} }{sin (x)} =4$
$\sqrt{1-sin^2(x)} =4sin(x)$
$1-sin^2(x)=16sin^2(x)$
$sin^2(x)= \frac{1}{17} ; sin(x)= \sqrt{ \frac{1}{17} } = \frac{ \sqrt{17} }{17}$
$cos^2(x)=1-sin^2(x)=1- \frac{1}{17} = \frac{16}{17} ;cos(x)= \sqrt{ \frac{16}{17} } = \frac{4 \sqrt{17} }{17}$
Подставляем
$sin(2arcctg(4))=2sin(x)*cos(x)=2* \frac{ \sqrt{17} }{17}* \frac{4 \sqrt{17} }{17} = \frac{8}{17}$

Answer 3

Для нахождения значения выражения sin(2arcctg4) нам потребуется некоторая алгебраическая и тригонометрическая работа.

Для начала, рассмотрим функцию арккотангенса (arcctg). Арккотангенс (или обратный котангенс) обратен котангенсу и определяется как угол, тангенс которого равен данному числу. Таким образом, arcctg(x) = arctan(1/x).

Дано arcctg(4). Мы можем выразить это в терминах арктангенса: arcctg(4) = arctan(1/4).

Теперь рассмотрим функцию синуса (sin). Мы можем использовать тригонометрическую формулу для удвоенного угла: sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ).

Применяя эту формулу к нашему выражению, получим: sin(2arcctg4) = 2sin(arcctg4)cos(arcctg4).

Теперь нам нужно вычислить sin(arcctg4) и cos(arcctg4). Мы можем использовать связь между тангенсом и синусом/косинусом для этого.

Дано arctan(1/4). Это означает, что тангенс угла равен 1/4. Мы можем использовать прямоугольный треугольник со сторонами 1 и 4 для определения значений синуса и косинуса этого угла.

В данном случае, синус угла равен противолежащему катету, а косинус угла равен прилежащему катету. Таким образом, sin(arcctg4) = 1/√(1^2+4^2) = 1/√17 и cos(arcctg4) = 4/√17.

Теперь мы можем подставить эти значения в исходное выражение: sin(2arcctg4) = 2sin(arcctg4)cos(arcctg4) = 2 * (1/√17) * (4/√17) = 8/17.

Таким образом, значение выражения sin(2arcctg4) равно 8/17.