Question

Знайдіть наймеше чотиризначне число яке при діленні на 2,3,5,7,11 дає остачу 1

Answer 1

Находим НОК чисел 2,3,5,7,11. Так как они все простые
то 2*3*5*7*11 = 2310 +1 (остаток). Ответ 2311

Answer 2

Щоб знайти найменше чотиризначне число, яке при діленні на 2, 3, 5, 7 та 11 дає остачу 1, ми можемо скористатися китайською теоремою про лишки.

Китайська теорема про лишки стверджує, що якщо ми маємо систему лінійних конгруенцій з попарно взаємно простими модулями (у нашому випадку 2, 3, 5, 7 та 11), то існує єдине рішення, яке задовольняє усім модулям.

Застосуємо китайську теорему про лишки до даної системи лінійних конгруенцій:

x ≡ 1 (mod 2) x ≡ 1 (mod 3) x ≡ 1 (mod 5) x ≡ 1 (mod 7) x ≡ 1 (mod 11)

Щоб знайти рішення, ми можемо помножити всі модулі разом:

N = 2 * 3 * 5 * 7 * 11 = 2310

Тепер ми знаємо, що будь-яке рішення x буде відповідати формулі x ≡ 1 (mod 2310).

Знайдемо найменше чотиризначне число, яке задовольняє цю конгруенцію:

x = 1 + 2310 * k, де k - ціле число.

Щоб x було чотиризначним, ми повинні вибрати значення k так, щоб 1 + 2310 * k було більше 1000.

1 + 2310 * k > 1000

2310 * k > 999

k > 999 / 2310

k > 0.431

Так як k повинно бути цілим числом, найменше значення k, яке задовольняє нерівність, дорівнює 1.

Тому, найменше чотиризначне число, яке при діленні на 2, 3, 5, 7 та 11 дає остачу 1, є:

x = 1 + 2310 * 1 = 2311