Question

Вопрос по алгебре,тригонометрия. Доказать тождество. sin^2 a/cos a(1+ctg a)-cos^2 a/sin a(1+tg a)=2√2sin(a-Π/4)/sin 2a нужно подробное обьяснение, Спасибо!

Answer 1

Одна алгебра ужас.почему?

Answer 2

Давайте рассмотрим левую и правую части уравнения и приведём их к общему знаменателю, чтобы сравнить их.

Левая часть: sin^2 a/cos a(1 + ctg a) - cos^2 a/sin a(1 + tg a)

Для начала, заменим ctg a на 1/tg a и cos^2 a на 1 - sin^2 a, чтобы упростить выражение:

sin^2 a/(cos a + sin a/tg a) - (1 - sin^2 a)/(sin a + cos a/tg a)

Теперь найдём общий знаменатель для обоих дробей. Для этого перемножим знаменатели:

(cos a + sin a/tg a)(sin a + cos a/tg a)

= cos a * sin a + cos^2 a + sin^2 a + sin a * cos a / tg a + 1

= 2cos a * sin a + 1 / tg a + 1

Теперь приведём обе дроби к общему знаменателю, умножив числитель и знаменатель первой дроби на (tg a + 1), а числитель и знаменатель второй дроби на (tg a + 1):

(sin^2 a(tg a + 1) - cos^2 a) / (cos a + sin a)(tg a + 1)

= (sin^2 a * tg a + sin^2 a - cos^2 a) / (cos a * tg a + cos a + sin a * tg a + sin a)

= (sin^2 a * tg a + sin^2 a - cos^2 a) / (cos a * tg a + sin a * tg a + cos a + sin a)

Теперь преобразуем числитель:

sin^2 a * tg a + sin^2 a - cos^2 a = sin^2 a * tg a + sin^2 a - (1 - sin^2 a) = sin^2 a * tg a + sin^2 a - 1 + sin^2 a = sin^2 a * tg a + 2sin^2 a - 1

Теперь приведём знаменатель к общему виду, вынесем cos a и sin a за скобку:

cos a * tg a + sin a * tg a + cos a + sin a = (cos a + sin a)(tg a + 1)

Итак, левая часть уравнения принимает вид:

(sin^2 a * tg a + 2sin^2 a - 1) / (cos a + sin a)(tg a + 1)

А теперь рассмотрим правую часть уравнения:

2√2sin(a - Π/4)/sin 2a

Сначала упростим sin(a - Π/4):

sin(a - Π/4) = sin a * cos(Π/4) - cos a * sin(Π/4) = (sin a *