Question

((x^2)/(x^2-4)) взять интеграл. Пошаговое решение, готовый ответ без решения не нужен

Answer 1

$\int \frac{x^2}{x^2-4}dx=\int \frac{(x^2-4)+4}{x^2-4}dx=\int (1+\frac{4}{x^2-4})dx=\\\\=x+4\cdot \frac{1}{2\cdot 2}ln|\frac{x-2}{x+2}|+C=x+ln|\frac{x-2}{x+2}|+C$

Answer 2

Хорошо! Чтобы взять интеграл от функции ((x^2)/(x^2-4)), выполним следующие шаги:

1. Разложим дробь на простейшие дроби. Найдем такие коэффициенты A и B, чтобы выразить функцию в виде суммы двух простейших дробей: ((x^2)/(x^2-4)) = A/(x-2) + B/(x+2)

2. Приведем дроби к общему знаменателю: ((x^2)/(x^2-4)) = (A(x+2) + B(x-2))/(x^2-4)

3. Раскроем скобки и приравняем числители: x^2 = (A(x+2) + B(x-2))

4. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: x^2 = (Ax + 2A + Bx - 2B)

5. Сгруппируем переменные: x^2 = (A + B)x + (2A - 2B)

6. Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях переменной: A + B = 0 (коэффициент при x^1) 2A - 2B = 1 (коэффициент при x^0)

7. Решим систему уравнений, составленную из предыдущего шага: A = 1/4 B = -1/4

8. Теперь мы можем записать исходную функцию в виде суммы двух простейших дробей: ((x^2)/(x^2-4)) = 1/(4(x-2)) - 1/(4(x+2))

9. Разобьем исходную функцию на два интеграла: ∫((x^2)/(x^2-4)) dx = ∫(1/(4(x-2))) dx - ∫(1/(4(x+2))) dx

10. Интегрируем каждый из интегралов по отдельности: ∫(1/(4(x-2))) dx = (1/4) ln|x-2| + C1 ∫(1/(4(x+2))) dx = (1/4) ln|x+2| + C2

11. Ответ: ∫((x^2)/(x^2-4)) dx = (1/4) ln|x-2| - (1/4) ln|x+2| + C

Где ln обозначает натуральный логарифм, |x| обозначает модуль числа x, C1 и C2 являются произвольными постоянными, а C является общей постоянной интегрирования.