Question

1. В ящике 12 шариков. 5 белых. 7 черных. Выбирают 3 шарика. Найти вероятность, что вытянут: В - 2 черные, 1 белая С - 2 белые, 1 черная D - все белые. 2. Парень забыл две последние цифры номера телефона. Какая вероятность того, что наберет номер правильно, если эти цифры разные? 3. Игра в лото: 49 номеров, отмечают 6. Какая вероятность того, что 3 номера - выигрышные?

Answer 1

1) В ящике 12 шариков. 5 белых. 7 черных. Выбирают 3 шарика. Найти вероятность, что вытянут:

Всего выбрать 3 шарика из 12 предложенных

$\displaystyle C_{12}^3=\frac{12!}{9!*3!}=\frac{10*11*12}{2*3}=10*11*2=220$

В - 2 черные, 1 белая

выбрать 2 черных и 1 белый

$\displaystyle C_7^2*C_5^1=\frac{7!}{5!*2!}*5=\frac{6*7}{2}*5= 105\\\\P=\frac{105}{220}=0.477$

С - 2 белые, 1 черная

выбрать 2 белых и 1 черный

$\displaystyle C_5^2*C_7^1=\frac{5!}{3!*2!}*7=\frac{4*5}{2}*7= 70\\\\P=\frac{70}{220}=0.318$

D - все белые.

выбрать 3 белых

$\displaystyle C_5^3=\frac{5!}{2!3!}=\frac{4*5}{2}=10\\\\P=\frac{10}{220}=0.045$

2) Парень забыл две последние цифры номера телефона. Какая вероятность того, что наберет номер правильно, если эти цифры разные?

Всего 10 цифр. Выбрать 2

$\displaystyle C_{10}^2=\frac{10!}{8!*2!}=\frac{9*10}{2}=90$

Выбрать 1 вариант из 90

$\displaystyle P=\frac{1}{90}= 0.011$

3) Игра в лото: 49 номеров, отмечают 6. Какая вероятность того, что 3 номера - выигрышные?

Выбрать 6 номеров из 49

$\displaystyle C_{49}^6=\frac{49!}{43!6!}=13983816$

выбрать 3 из 6

$\displaystyle C_6^3=\frac{6!}{3!3!}=20\\\\P=\frac{20}{13983816}=0.00000143$

Answer 2

1. Для решения задачи о вероятности выбора определенного количества шариков разных цветов, можно использовать комбинаторику.

а) Вероятность выбора 2 черных и 1 белого шарика: Всего способов выбрать 3 шарика из 12: C(12, 3) = 220 Способы выбрать 2 черных из 7: C(7, 2) = 21 Способы выбрать 1 белый из 5: C(5, 1) = 5

Таким образом, вероятность выбора 2 черных и 1 белого шарика составляет: P(В) = (21 * 5) / 220 = 105 / 220 = 15 / 44

б) Вероятность выбора 2 белых и 1 черного шарика: Способы выбрать 2 белых из 5: C(5, 2) = 10 Способы выбрать 1 черный из 7: C(7, 1) = 7

Таким образом, вероятность выбора 2 белых и 1 черного шарика составляет: P(С) = (10 * 7) / 220 = 70 / 220 = 7 / 22

в) Вероятность выбора трех белых шариков: Способы выбрать 3 белых из 5: C(5, 3) = 10 Способы выбрать 0 черных из 7: C(7, 0) = 1

Таким образом, вероятность выбора трех белых шариков составляет: P(D) = (10 * 1) / 220 = 10 / 220 = 1 / 22

2. При условии, что две последние цифры номера телефона разные, всего возможно 90 различных комбинаций двух цифр (от 00 до 99, исключая повторы). Если парень набирает номер случайным образом, вероятность правильно набрать номер составляет 1/90, так как только одна комбинация будет соответствовать правильному номеру из 90 возможных.

3. В игре в лото из 49 номеров выбираются 6. Для определения вероятности выбора 3 выигрышных номеров необходимо знать общее количество возможных комбинаций 6 номеров из 49, которое можно вычислить следующим образом:

C(49, 6) = (49!)/(6!(49-6)!) = (49!)/(6!43!) = (494847464544)/(654321) = 13983816

Затем нужно определить количество комбинаций 3 выиг