Question

Преобразуйте в произведение тригонометрических функций сумму sin4α+sin6α+sin8α+sin10α.

Answer 1

Sinα+sinβ=2sin((α+β)/2)*cos((α-β)/2)

cosα+cosβ=2cos((α+β)/2)*cos((α-β)/2)

sin4α+sin6α+sin8α+sin10α=(sin4α+sin10α)+(sin6α+sin8α)=
2sin7α*cos(-3α)+2sin7α*cos(-α)=2sin7α*(cos3α+cosα)=2sin7α*(2cos2α*cosα)= 4sin7α*cos2α*cosα

Answer 2

Для преобразования суммы sin(4α) + sin(6α) + sin(8α) + sin(10α) в произведение тригонометрических функций, мы можем использовать формулу суммы синусов:

sin(A) + sin(B) = 2 * sin((A + B) / 2) * cos((A - B) / 2)

Применим эту формулу к исходной сумме:

sin(4α) + sin(6α) + sin(8α) + sin(10α) =

= 2 * sin((4α + 6α) / 2) * cos((4α - 6α) / 2) + 2 * sin((8α + 10α) / 2) * cos((8α - 10α) / 2) =

= 2 * sin(5α) * cos(-α) + 2 * sin(9α) * cos(-α)

Заметим, что cos(-α) = cos(α), поэтому можно упростить выражение:

= 2 * sin(5α) * cos(α) + 2 * sin(9α) * cos(α) =

= 2 * cos(α) * (sin(5α) + sin(9α))

Таким образом, исходная сумма sin(4α) + sin(6α) + sin(8α) + sin(10α) может быть преобразована в произведение тригонометрических функций:

sin(4α) + sin(6α) + sin(8α) + sin(10α) = 2 * cos(α) * (sin(5α) + sin(9α))