Question

Найдите все значения параметра k, при котором прямые 3x+2ky=1 и 3(k-1)x-ky=1 а) пересекаются в одной точке; б) совпадают; в) не имеют общих точек.

Answer 1

Відповідь:

Пояснення:

Answer 2

Для определения значений параметра k, при которых прямые выполняют определенные условия, мы можем использовать методы аналитической геометрии.

а) Чтобы найти значение параметра k, при котором прямые пересекаются в одной точке, мы должны найти решение системы уравнений, состоящей из уравнений прямых:

3x + 2ky = 1 ...(1) 3(k - 1)x - ky = 1 ...(2)

Мы можем решить эту систему уравнений методом подстановки или методом исключения переменных. Давайте воспользуемся методом подстановки:

Из уравнения (1) мы можем выразить x через y:

x = (1 - 2ky) / 3 ...(3)

Подставим выражение для x в уравнение (2):

3(k - 1) * ((1 - 2ky) / 3) - ky = 1

(k - 1)(1 - 2ky) - ky = 1

(k - 1 - 2k + 4ky) - ky = 1

-k + 1 + 4ky - 2ky - ky = 1

-4k + 2 + 3ky = 1

3ky - 4k = -1

k(3y - 4) = -1

k = -1 / (3y - 4) ...(4)

Теперь мы получили выражение для k через y. Чтобы прямые пересекались в одной точке, они должны иметь единственное решение для x и y. Это будет выполнено, если значения k и y не равны нулю одновременно.

Таким образом, значения параметра k, при которых прямые пересекаются в одной точке, будут все значения, исключая k = 0 и y = 0.

б) Чтобы прямые совпадали, их уравнения должны быть пропорциональными. Другими словами, коэффициенты при x и y в обоих уравнениях должны быть пропорциональными:

3 / 3(k - 1) = 2k / -k

1 / (k - 1) = -2 / 1

1 = -2(k - 1)

1 = -2k + 2

2k = 1

k = 1/2

Таким образом, прямые будут совпадать при k = 1/2.

в) Чтобы прямые не имели общих точек, они должны быть параллельными. Другими словами, их нормальные векторы должны быть коллинеарными. Нормальный вектор для прямой 3x + 2ky = 1 имеет компоненты (3, 2k), а нормаль