Question

((a+1)x^2-4x)+4((a+1)x-4x)+1-a^2=0 найдите все значения а при которых уравнение имеет один корень

Answer 1

((a+1)*x^2 - 4x) + 4((a+1)*x - 4x) + (1-a^2) = 0
Раскрываем скобки
(a+1)*x^2 - 4x + 4x(a+1) - 16x + (1-a^2) = 0
(a+1)*x^2 + x*(4a+4-4-16) + (1-a^2) = 0
(a+1)*x^2 + 4x*(a-4) + (1-a^2) = 0
1) При a = -1 получится
0x^2 + 4x(-5) + 0 = 0; x = 0 - единственный корень.
2) Если а =/= -1, то решаем квадратное уравнение
D/4 = (b/2)^2 - ac = (2(a-4))^2 - (a+1)(1-a^2) =
= 4(a^2-8a+16) - (a+1-a^3-a^2) = a^3 + 5a^2 - 33a + 63
Если у нас один корень, то D/4 = 0
a^3 + 5a^2 - 33a + 63 = 0
Как это решать аналитически, неясно, решим подбором.
F(-9) = -729 + 5*81 + 33*9 + 63 = -729 + 405 + 297 + 63 = -729 + 765 = 36 > 0
F(-10) = -1000 + 500 + 330 + 63 = -1000 + 863 = -137 < 0
-10 < x1 < -9
F(2) = 8 + 5*4 - 33*2 + 63 = 8 + 20 - 66 + 63 = 25 > 0
F(3) = 27 + 5*9 - 33*3 + 63 = 27 + 45 - 99 + 63 = 26 > 0
F(4) = 64 + 5*16 - 33*4 + 63 = 64 + 80 - 132 + 63 = 207 - 132 = 75 > 0
Точка минимума пройдена, дальше значения будут еще больше.
Единственный корень -10 < x < -9
Можно уточнить
F(-9,3) = -9,3^3 + 5*9,3^2 + 33*9,3 + 63 = -2,007 < 0
F(-9,2) = -9,2^3 + 5*9,2^2 + 33*9,2 + 63 = 11,112 > 0
F(-9,28) = -9,28^3 + 5*9,28^2 + 33*9,28 + 63 = 0,6532 > 0
F(-9,29) = -9,29^3 + 5*9,29^2 + 33*9,29 + 63 = -0,6745 < 0
F(-9,285) = -9,285^3 + 5*9,285^2 + 33*9,285 + 63 = -0,0101 ~ 0
Ответ: a1 = -1; a2 = -9,285

Answer 2

Для того чтобы уравнение имело только один корень, дискриминант должен быть равен нулю. Давайте рассмотрим уравнение и найдем его дискриминант.

Уравнение: ((a+1)x^2-4x) + 4((a+1)x-4x) + 1 - a^2 = 0

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

(a+1)x^2 - 4x + 4ax - 16x + 4 + 4a - a^2 = 0

(a+1)x^2 + (4a - 20)x + 4 + 4a - a^2 = 0

Теперь мы имеем уравнение вида Ax^2 + Bx + C = 0, где:

A = (a+1) B = (4a - 20) C = (4 + 4a - a^2)

Дискриминант D для этого уравнения вычисляется по формуле D = B^2 - 4AC. При условии D = 0, уравнение имеет только один корень.

Вычислим дискриминант:

D = (4a - 20)^2 - 4(a+1)(4 + 4a - a^2)

D = (16a^2 - 160a + 400) - 4(a^3 + 4a^2 - a + 4 + 4a - a^2)

D = 16a^2 - 160a + 400 - 4a^3 - 16a^2 + 4a - 16 + 16a - 4a^2

D = -4a^3 - 32a^2 + 20a + 384

Теперь мы должны приравнять D к нулю и решить полученное кубическое уравнение:

-4a^3 - 32a^2 + 20a + 384 = 0

К сожалению, это кубическое уравнение не может быть решено аналитически. Мы можем использовать численные методы или графический метод для приближенного нахождения корней.

Надеюсь, это поможет вам в решении задачи.