Question

Значение первообразной F(x) функции f(x)=3x^2-7x+1 в точке 0 равно 4. Найдите F(4)

Answer 1

$F(x)=\int (3x^2-7x+1) dx=3\int x^2dx-7\int xdx+\int dx=\\=x^3-3.5x^2+x+C;\\ F(0)=4 ~\to~ 0^3-3.5*0^2+0+C=4 \to C=4;\\ F(4)=4^3-3.5*4^2+4+C=64-56+4+4=16.$
Ответ: 16.

Answer 2

Чтобы найти значение F(4), мы должны найти первообразную F(x) функции f(x) и затем вычислить ее значение в точке x = 4.

Итак, первообразная F(x) функции f(x) будет являться функцией, производная которой равна f(x). В данном случае, функция f(x) = 3x^2 - 7x + 1, поэтому мы ищем такую функцию F(x), производная которой равна 3x^2 - 7x + 1.

Чтобы найти первообразную F(x), мы интегрируем функцию f(x). Интегрируя каждый член по отдельности, получаем:

∫(3x^2 - 7x + 1) dx = x^3 - (7/2)x^2 + x + C,

где C - произвольная постоянная интегрирования.

Теперь нам нужно найти значение C, используя информацию о F(x) в точке x = 0. Мы знаем, что F(0) = 4. Подставим это значение в уравнение для F(x):

F(0) = 0^3 - (7/2)0^2 + 0 + C = C.

Мы получаем, что C = 4.

Итак, первообразная F(x) функции f(x) = 3x^2 - 7x + 1 будет:

F(x) = x^3 - (7/2)x^2 + x + 4.

Найдем значение F(4), подставив x = 4 в выражение для F(x):

F(4) = 4^3 - (7/2)4^2 + 4 + 4 = 64 - 56 + 4 + 4 = 16.

Таким образом, F(4) = 16.